2008年前期 北海道大学 1

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3
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文系学部
xy 平面において, 放物線 y=-x^2+6xx 軸で囲まれた図形に含まれ, (a,0)(a,-a^2+6a) を結ぶ線分を一辺とする長方形を考える。 ただし, 0<a<3 とする。このような長方形の面積の最大値を S(a) とする。
(1)
S(a)a の式で表せ。
(2)
S(a) の値が最大となる a を求め, 関数 S(a) のグラフをかけ。
ヒント
(1)
放物線 y=-x^2+6xx 軸に内接するときに長方形の面積は最大になる.
(2)
微分して増減表を書く.
解答
(1)
図1 A(a,0), B(a,-a^2+6a) とすると, 題意の長方形は図の ABCD であり, これが最大となるのは C が放物線上にあるときで, 図の ABC'D' である.(*1)AD'=6-2a より
S(a) =(6-2a)(-a^2+6a)
=2a^3-18a^2+36a

(2)
S'(a) =6a^2-36a+36
=6{a-(3-sqrt3)}{a-(3+sqrt3)}
よって, S(a) の増減は表のようになる.
a,0,cdots,3-sqrt3,cdots,3S'(a),,+,0,-,S(a),0,NE,12sqrt3,SE,0
図2 ゆえに, S(a)a=3-sqrt3 のとき, 最大値 12sqrt3 をとる.
また, b=S(a) のグラフは図のようになる.

解説
(*1)
どのようなときに面積が最大になるかは、実際に図を書いて示すのが簡単.

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