2008年前期 北海道大学 2

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3
Dept. :
文系学部
a を定数とする。xy 平面上の点の集合 X(a), L を次のように定める。
X(a)={(x,y)vert(x-a)^2+y^2leqq bunsuu{(a+1)^2}{4}}
L={(x,y)vert y=x-1}
(1)
X(a)cup L=phi となるような a の値の範囲を求めよ。 (ただし, phi は空集合を表す。)
(2)
いかなる実数 a に対しても P notin X(a) となるような点 P の集合を求め, xy 平面上に図示せよ。
ヒント
(1)
(x-a)^2+y^2=bunsuu{(a+1)^2}{4}y=x-1 が共有点をもたない a の値の範囲を求める.
(2)
(x-a)^2+y^2leqq bunsuu{(a+1)^2}{4} を満たす a が存在しない.
解答
(1)
X(a) は 円 (x-a)^2+y^2=bunsuu{(a+1)^2}{4} の周および内部, L は直線 y=x-1 上の点を表すから, X(a)cup L=phi であるためには,
(x-a)^2+y^2=bunsuu{(a+1)^2}{4}y=x-1
の共有点が存在しなければよい.(*1)連立して,
(x-a)^2+(x-1)^2=bunsuu{(a+1)^2}{4}
2x^2-2(a+1)x+{a^2+1-bunsuu{(a+1)^2}{4}}=0
これが解を持たない(*2)ので, 判別式が負である.(*3)
(a+1)^2-2{a^2+1-bunsuu{(a+1)^2}{4}}<0
a^2-6a+1>0
ゆえに,
a<3-2sqrt2,      3+2sqrt2<a
(2)
(x-a)^2+y^2leqq bunsuu{(a+1)^2}{4}
3a^2-2(4x+1)a+(4x^2+4y^2-1)leqq0
を満たす a が存在しない (x,y) の集合を求めればよい.(*4)判別式が負である(*5)から,
(4x+1)^2-3(4x^2+4y^2-1)<0
(x+sqrt3y+1)(x-sqrt3y+1)<0
図1 これを満たす P(x,y) の集合を図示すると, 図の斜線部分のようになる.
ただし, 境界線を含まない.

解説
 
同値関係を用いて条件を少しずつ置き換えていこう.
(*1)
円の周および内部と直線が共有点をもたない. Longleftrightarrow 円の周と直線が共有点をもたない.
(*2)
2曲線(直線)が共有点をもたない. Longleftrightarrow 連立した方程式が解を持たない.
(*3)
2次方程式が解をもたない. Longleftrightarrow 判別式が負である.
(*4)
P の軌跡・領域を求めるときには, P(x,y) とおいて, x, y の関係式を求めるのがパターン.
いかなる a に対しても P notin X(a) Longleftrightarrow P in X(a) となる a が存在しない.
Longleftrightarrow (x-a)^2+y^2leqq bunsuu{(a+1)^2}{4} をみたす a が存在しない.
a の存在について考えるときは a について整理しよう. すると a の2次不等式になるので,
a が存在しない Longleftrightarrow a の2次不等式が解をもたない.
(*5)
3a^2-2(4x+1)a+(4x^2+4y^2-1)leqq0 が解をもたない.
Longleftrightarrow どんな a に対しても 3a^2-2(4x+1)a+(4x^2+4y^2-1)>0
3a^2-2(4x+1)a+(4x^2+4y^2-1) は下に凸の放物線だから,
どんな a に対しても 3a^2-2(4x+1)a+(4x^2+4y^2-1)>0 Longleftrightarrow 判別式が負.

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