2008年前期 北海道大学 3

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2
Dept. :
文系学部
k を実数とし, a_1=0, a_2=1, a_{n+2}=ka_{n+1}-a_n (n=1,2,3,cdots) で数列 {a_n} を定める。
(1)
k=2 のとき, 一般項 a_n を求めよ。
(2)
すべての n について a_{n+2}-beta a_{n+1}=alpha(a_{n+1}-beta a_n) を満たす alpha, beta に対して, alpha+beta=k, alpha beta=1 が成り立つことを示せ。
(3)
(2) において, 異なる実数 alphabeta が存在するための k の条件を求め, そのときの alphabeta の値を求めよ。
ヒント
(1)
3項間漸化式の基本形
(2)
n=1, n=2 のときから必要性を導き, 十分性を示す.
(3)
alpha, beta を2解とする2次方程式の判別式を用いる.
解答
a_1=0,a_2=1,
a_{n+2}=ka_{n+1}-a_n \cdots\cdotseq1
(1)
k=2 のとき, 式1
a_{n+2} =2a_{n+1}-a_n
a_{n+2}-a_{n+1} =a_{n+1}-a_n   (*1)
=a_2-a_1
=1
よって, 数列 {a_n} は初項0, 公差1の等差数列であるから,
a_n=n-1      (n=1,2,3,cdots)
(2)
a_{n+2}-beta a_{n+1}=alpha(a_{n+1}-beta a_n)
a_{n+2}=(alpha+beta)a_{n+1}-alpha beta a_n
式1 と連立して,
(alpha+beta)a_{n+1}-alpha beta a_n=ka_{n+1}-a_n
(alpha+beta-k)a_{n+1}-(alpha beta-1)a_n=0   (*2) \cdots\cdotseq2
これがすべての n に成り立つので,
n=1 とすると,
(alpha+beta-k)a_2-(alpha beta-1)a_1=0
alpha+beta=k   (*3)
n=2 とすると,
(alpha+beta-k)a_3-(alpha beta-1)a_2=0
alpha beta=1   (*4)
逆に, alpha+beta=k, alpha beta=1 のとき, すべての n について 式2 は成り立つ.(*5)
ゆえに, すべての n について alpha+beta=k, alpha beta=1
(3)
alpha+beta=k, alpha beta=1 である alpha, beta は 2次方程式 x^2-kx+1=0 の2解である(*6)から, 異なる実数 alpha, beta が存在するための条件は, 判別式が正である.
k^2-4>0
k<-2,2<k
このとき, x=bunsuu{k pm sqrt{k^2-4}}{2} であるから,
(alpha,beta)=(bunsuu{k pm sqrt{k^2-4}}{2},bunsuu{k mp sqrt{k^2-4}}{2})   (複合同順)
解説
(*1)
特性方程式 x^2=2x-1 を解くと x=1 であるから, a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n と変形できる.
(*2)
この式から直接 alpha+beta-k=0, alpha beta-1=0 は導けないので要注意.
例えばもし, a_n=a_{n+1} の数列なら, alpha+beta-k=alpha beta-1 であれば成り立つ.
すべての n に対して成り立つことから, 地道に n=1, n=2 を代入して導こう.
(*3)
a_1=0, a_2=1 より, (alpha+beta-k)cdot1=0
(*4)
(alpha+beta-k)=0 より -(alpha beta-1)cdot1=0
(*5)
必要性を導いたら, 十分性について確認することを忘れずに.
(*6)
解と係数の関係

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