2008年前期 北海道大学 5

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3
Dept. :
理系学部
alpha, beta0<alpha<beta<2 を満たす実数とし, 0leqq x leqq2 の範囲で定義された関数 f(x)
f(x)=zettaiti{(x-alpha)(x-beta)}
とする。
(1)
f(x) の最大値を M とする。f(x)=M となる x がちょうど3つあるとき, 実数 alpha, betaM の値を求めよ。
(2)
(1) で求めた alpha, beta について, f(x)-mx=0 が異なる3つの解をもつような実数 m の値の範囲を求めよ。
ヒント
(1)
両端と頂点で最大になる.
(2)
y=f(x)y=mx が異なる3つの交点をもつと考える.
解答
(1)
図1 y=f(x) のグラフは図のようになるので, f(x) を最大にする x が3つあるとき,
f(0)=f(bunsuu{alpha+beta}{2})=f(2)   (*1)
alpha beta=bunsuu14(alpha-beta)^2=(2-alpha)(2-beta)
alpha+beta=2,alpha beta=bunsuu12
よって, alpha, beta は2次方程式
x^2-2x+bunsuu12=0
の2解である.(*2)alpha<beta より,
(alpha,beta)=(1-bunsuu{sqrt2}{2},1+bunsuu{sqrt2}{2}) \cdots\cdotseq1
このとき, M=f(0)=bunsuu12
(2)
図2 f(x)-mx=0 が3つの解をもつとき, y=f(x)y=mx は3つの共有点をもつ. 式1 のとき, y=f(x) のグラフは図のようになる. よって, m が図の l_1 の傾きより大きく, l_2 の傾きより小さければよい.
l_1 は点 (2,bunsuu12) を通るので, 傾きは bunsuu14.
l_2 の傾きを k とすると, y=kxy=-x^2+2x-bunsuu12alpha<x<1 で接するので, kx=-x^2+2x-bunsuu12 すなわち x^2+(k-2)x+bunsuu12=0alpha<x<1 で重解をもつ. これを解くと, k=2-sqrt2.
ゆえに, bunsuu14<m<2-sqrt2
解説
(*1)
最大値の候補は端点の f(0), f(2) と頂点 f(bunsuu{alpha+beta}{2}) しかないので, 最大となる x が3つあるとき, f(0)=f(bunsuu{alpha+beta}{2})=f(2)
(*2)
解と係数の関係
(*3)
判別式が0, 軸の x 座標が alpha と1の間

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