2008年前期 北海道大学 6

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理系学部
n を自然数とし, 2次正方行列 A=gyouretu2112 に対して, An 乗を A^n=gyouretu{a_n}{b_n}{c_n}{d_n} と表す。
(1)
a_n=d_nb_n=c_n を示せ。
(2)
n が奇数ならば a_n は偶数であること, および, n が偶数ならば a_n は奇数であることを示せ。
ヒント
(1)
A^{n+1}=A^n cdot A を用いて, 数学的帰納法.
(2)
奇数 times m=n ならば, mn の偶奇は一致する.
解答
A^{n+1}=A^n cdot A より,
gyouretu{a_{n+1}}{b_{n+1}}{c_{n+1}}{d_{n+1}} =gyouretu{a_n}{b_n}{c_k}{d_n}cdot gyouretu1221
=gyouretu{2a_n+b_n}{a_n+2b_n}{2c_n+d_n}{c_n+2d_n}
(1)
n=1,2,3,cdots のとき,
a_n=d_n,b_n=c_n \cdots\cdotseq1
を数学的帰納法によって示す.
(i)
n=1 のとき, A=gyouretu1221 より 式1 は成り立つ.
(ii)
n=k のとき, 式1 が成り立つと仮定すると, a_k=d_k, b_k=c_k.
gyouretu{a_{k+1}}{b_{k+1}}{c_{k+1}}{d_{k+1}} =gyouretu{2a_k+b_k}{a_k+2b_k}{2c_k+d_k}{c_k+2d_k}
=gyouretu{2a_k+b_k}{a_k+2b_k}{a_k+2b_k}{2a_k+b_k}
ゆえに, a_{k+1}=d_{k+1}, b_{k+1}=c_{k+1} であり, n=k+1 のときも 式1 は成り立つ.
以上から, 数学的帰納法により n=1,2,3,cdots のとき, 式1 は成り立つ.
(2)
n=1,2,3,cdots のとき,
nが偶数のとき,,a_nは偶数nが奇数のとき,,a_nは奇数 \cdots\cdotseq2
を数学的帰納法によって示す.
(i)
a_1=1, a_2=5 より, n=1,2 のとき, 式2 は成り立つ.
(ii)
n=2k-1,2k (k=1,2,3,cdots)式2 が成り立つと仮定すると, a_{2k-1} は偶数, a_{2k} は奇数である.
a_{n+2} =2a_{n+1}+b_{n+1}
=2(2a_n+b_n)+(a_n+2b_n)
=5a_n+4b_n
であるから, a_{n+2}a_n の偶奇は一致する.(*1)よって, a_{2k+1} は偶数, a_{2k+2} は奇数となるから, n=2k,2k+1 のときも 式2 は成り立つ.
以上から, 数学的帰納法により n=1,2,3,cdots のとき, 式2 は成り立つ.
解説
(*1)
「奇数 times m」および「偶数 +m」の偶奇は m の偶奇と一致し, 「偶数 times m」は偶数である.
よって, 5a_n の偶奇は a_n の偶奇と一致し, さらに 5a_n+4b_n の偶奇は a_n の偶奇と一致する.

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