2008年前期 北海道大学 7

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5
Dept. :
理系学部
関数 f(x)
f(x)=bunsuu{3x^2}{2x^2+1}
とする。
(1)
0<x<1 ならば, 0<f(x)<1 となることを示せ。
(2)
f(x)-x=0 となる x をすべて求めよ。
(3)
0<alpha<1 とし, 数列 {a_n}
a_1=alpha,      a_{n+1}=f(a_n)      (n=1,2,cdots)
とする。alpha の値に応じて, dlim{n to infty}a_n を求めよ。
ヒント
(1)
分子の次数を下げて考える.
(2)
分子を因数分解.
(3)
極限値の存在と範囲を導けば, (2) の結果を使える.
解答
(1)
f(x)=bunsuu32(1-bunsuu{1}{2x^2+1})
0<x<1 より, 1<2x^2+1<3 であるから, 0<f(x)<1
(2)
f(x)-x=bunsuu{-x(2x-1)(x-1)}{2x^2+1} より, x=0,bunsuu12,1
(3)
f(x)<x Longleftrightarrow0<x<bunsuu12
f(x)=x Longleftrightarrow x=0,bunsuu12,1
f(x)>x Longleftrightarrow bunsuu12<x<1
よって,
(i)
0<alpha<bunsuu12 のとき, a_{n+1}=f(a_n)<a_n であるから, 数列 {a_n} は単調減少である.
0<a_n<alpha であるから, dlim{n to infty}a_n は存在し,(*1)0leqq dlim{n to infty}a_n leqq alpha である.(*2)
(ii)
alpha=bunsuu12 のとき, a_{n+1}=f(a_n)=a_n であるから, a_n=bunsuu12 である.
(iii)
bunsuu12<alpha<1 のとき, a_{n+1}=f(a_n)>a_n であるから, 数列 {a_n} は単調増加である.
alpha<a_n<1 であるから, dlim{n to infty}a_n は存在し,(*3)alpha leqq dlim{n to infty}a_n leqq1 である.(*2)
ここで, (2) より, dlim{n to infty}a_n が存在するとき, dlim{n to infty}a_n=0,bunsuu12,1 のいずれかである.
ゆえに,
0<alpha<bunsuu12のとき,,dlim{n to infty}a_n=0alpha=bunsuu12のとき,,dlim{n to infty}a_n=bunsuu12bunsuu12<alpha<1のとき,,dlim{n to infty}a_n=1
解説
(*1)
単調減少であれば, 振動することはなく発散するか収束する. さらに下に有界(ある一定の値を下回ることがない)であれば, 収束する. すなわち, 極限値が存在する.
(*2)
はさみうちの原理
(*3)
上に有界(ある一定の値を上回ることがない)で単調増加であれば, 極限値が存在する.

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