2008年前期 北海道大学 8

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4
Dept. :
理系学部
xyz 空間の原点 O と, O を中心とし半径1の球面上の異なる4点 A, B, C, D を考える。 点 A(cos bunsuu{alpha}{2},sin bunsuu{alpha}{2},0), B(cos(-bunsuu{alpha}{2}),sin(-bunsuu{alpha}{2}),0) (0<alpha<pi) とする。 点 C, Dkaku{COA}=kaku{COB}=kaku{DOA}=kaku{DOB} を満たし, 点 Cz 座標は正, Dz 座標は負とする。
(1)
C の座標を alphatheta=kaku{COA} (0<theta<pi) で表せ。
(2)
ベクトル bekutoru{OA}, bekutoru{OB}, bekutoru{OC}, bekutoru{OD} の相異なる2つのベクトルのなす角がすべて等しいとき, 点 C の座標を求めよ。
ヒント
(1)
C(x,y,z) とおいて, 内積を利用する.
(2)
kaku{AOB}=alpha, kaku{AOC}=theta であるから, theta=alpha.
解答
(1)
図1 C(x,y,z) とおく.
absvec{OA}=absvec{OB}=absvec{OC}=1
これを用いると,
vnaiseki{OA}{OC}=absvec{OA}absvec{OC}cos theta vnaiseki{OB}{OC}=absvec{OB}absvec{OC}cos theta
x cos bunsuu{alpha}{2}+y sin bunsuu{alpha}{2}=cos theta x cos bunsuu{alpha}{2}-y sin bunsuu{alpha}{2}=cos theta
x=bunsuu{cos theta}{cos bunsuu{alpha}{2}},y=0
absvec{OC}=1 より,
bunsuu{cos^2theta}{cos^2bunsuu{alpha}{2}}+z^2=1
z>0 より,
z=sqrt{1-bunsuu{cos^2theta}{cos^2bunsuu{alpha}{2}}}
ゆえに,
C(bunsuu{cos theta}{cos bunsuu{alpha}{2}},0,sqrt{1-bunsuu{cos^2theta}{cos^2bunsuu{alpha}{2}}})
(2)
kaku{AOB}=alpha, kaku{AOC}=theta より theta=alpha であるから,(*1)
C(bunsuu{cos alpha}{cos bunsuu{alpha}{2}},0,sqrt{1-bunsuu{cos^2alpha}{cos^2bunsuu{alpha}{2}}}),D(bunsuu{cos alpha}{cos bunsuu{alpha}{2}},0,-sqrt{1-bunsuu{cos^2alpha}{cos^2bunsuu{alpha}{2}}})
kaku{COD}=alpha であるから,
vnaiseki{OC}{OD}=absvec{OC}cdot absvec{OD}cos alpha
bunsuu{cos^2alpha}{cos^2bunsuu{alpha}{2}}-(1-bunsuu{cos^2alpha}{cos^2bunsuu{alpha}{2}})=cos alpha
(3cos alpha+1)(cos alpha-1)=0   (*2)
0<alpha<pi より,
cos alpha=-bunsuu13   (*3)
cos bunsuu{alpha}{2}=bunsuu{sqrt3}{3}   (*4)
ゆえに,
C(-bunsuu{sqrt3}{3},0,bunsuu{sqrt6}{3})
解説
(*1)
bekutoru{OA}bekutoru{OB} のなす角 alpha と, bekutoru{OA}bekutoru{OC} のなす角 theta が等しい.
(*2)
半角の公式 cos^2bunsuu{alpha}{2}=bunsuu{cos alpha+1}{2} を用いて整理する.
(*3)
cos alpha-1ne0 だから, 3cos alpha+1=0.
(*4)
半角の公式 cos^2bunsuu{alpha}{2}=bunsuu{cos alpha+1}{2}0<bunsuu{alpha}{2}<bunsuu{pi}{2} より cos alpha>0 であることから求まる.

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