2008年前期 北海道大学 9

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2
Dept. :
理系学部
関数 f(x)g(x)0leqq x leqq1 の範囲で定義された連続関数とする。
(1)
f(x)=dint{0}{1}e^{x+t}f(t)dt
を満たす f(x) は定数関数 f(x)=0 のみであることを示せ。
(2)
g(x)=dint{0}{1}e^{x+t}g(t)dt+x
を満たす g(x) を求めよ。
ヒント
(1)
a=dint{0}{1}e^tf(t)dt とおくと, f(x)=ae^x
(2)
b=dint01e^tg(t)dt とおくと, g(x)=be^x+x
解答
(1)
a=dint{0}{1}e^tf(t)dt とおくと, f(x)=ae^x(*1)
a =dint01e^tae^t dt
=a teisekibun{bunsuu{e^{2t}}{2}}{0}{1}
=bunsuu{a}{2}(e^2-1)
(e^2-3)a =0
a =0
よって,
f(x)=0
(2)
b=dint01e^tg(t)dt とおくと, g(x)=be^x+x
b =dint01e^t(be^t+t)dt
=b dint01e^{2t}dt+dint01te^t dt
=b teisekibun{bunsuu12e^{2t}}{0}{1}+teisekibun{(t-1)e^t}{0}{1}
=bunsuu{b}{2}(e^2-1)+1
b =bunsuu{2}{3-e^2}
よって,
g(x)=bunsuu{2}{3-e^2}e^2+x
解説
(*1)
f(x)=dint{0}{1}e^{x+t}f(t)dt=e^x dint{0}{1}e^t f(t)dt=ae^x

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