2008年前期 東北大学 1

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2
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文系学部
a を実数とし,
f(x)=x^3+(2a-4)x^2+(a^2-4a+4)x
とおく。方程式 f(x)=0 が2つの異なる実数解をもつとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
a の値の範囲を求めよ。
(2)
関数 y=f(x) の極値を求めよ。
(3)
a(1) で求めた範囲を動くとき, y=f(x) の極大値を与える x について, 点 (x,f(x))xy 平面上にえがく図形を図示せよ。
ヒント
(1)
因数分解すると, f(x)=x(x+a-2)^2
(2)
微分する.
(3)
a の値によって, 極大となる x の値が変わることに注意する.
解答
(1)
f(x)=x(x+a-2)^2=0
より, x=0,2-a であるから,
a ne2
(2)
f'(x) =(x+a-2)^2+x cdot2(x+a-2)
=(x+a-2)(3x+a-2)
より, x=2-a,bunsuu{2-a}{3} で極値 f(2-a)=0, f(bunsuu{2-a}{3})=bunsuu{4}{27}(2-a)^3 をとる.
(3)
図1
(i)
a<2 のとき, x=bunsuu{2-a}{3}>0 で極大値 y=f(bunsuu{2-a}{3})=bunsuu{4}{27}(2-a)^3=4x^3 をとる.
(ii)
a>2 のとき, x=2-a<0 で極大値 y=f(2-a)=0 をとる.
ゆえに, 求める軌跡は図の太線部分のようになる. ただし, 白丸を除く.

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