2008年前期 東北大学 2

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2
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文系学部
a, b, c, d, e を実数とする。多項式
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
が次の条件 (i), (ii), (iii) をすべてみたすとき, a, b, c, d, e の値を求めよ。
(i)
x^4f(bunsuu{1}{x})=f(x)
(ii)
f(1-x)=f(x)
(iii)
f(1)=1
ヒント
条件の x に適当な値を代入して a, b, c, d, e を求める.
すべての条件が成り立つ十分性の確認もすること.
解答
(i) より
a+bx+cx^2+dx^3+ex^4=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
よって,
a=e,b=d \cdots\cdotseq1
(ii)x=0 を代入すると,
2a+2b+c=a
a+2b+c=0 \cdots\cdotseq2
x=-1 を代入すると,
17a+10b+4c=2a-2b+c
5a+4b+c=0 \cdots\cdotseq3
(iii) より,
2a+2b+c=1 \cdots\cdotseq4
以上より,
a=1,b=-2,c=3
このとき f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+1(i), (ii), (iii) をみたす.
ゆえに,
a=1,b=-2,c=3,d=2,e=1

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