2008年前期 東北大学 3

Posted by :
よよよ
Date :
2010年1月12日 04:00
Level :
2
Dept. :
文系学部
平面上の sankaku{}OA_1A_2 は kaku{}OA_2A_1=90DEG, OA_1=1, OA_2=bunsuu{1}{sqrt3} をみたすとする。 A_2 から OA_1 へ垂線をおろし, 交点を A_3 とする。 A_3 から OA_2 へ垂線をおろし, 交点を A_4 とする。 以下同様に, k=4,5,cdots について, A_k から OA_{k-1} へ 垂線をおろし, 交点を A_{k+1} として, 順番に A_5, A_6, cdots を定める。 このとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
A_kA_{k+1} (k=1,2,cdots) を求めよ。
(2)
beku{h_k}=bekutoru{A_kA_{k+1}} とおくとき, 自然数 n に対して retuwa{k=1}{n}naiseki{h_k}{h_{k+1}} を求めよ。 ただし, naiseki{h_k}{h_{k+1}} は beku{h_k} と beku{h_{k+1}} の内積を表す。
ヒント
(1)
sankaku{}OA_kA_{k+1}souzi sankaku{}OA_{k+1}A_{k+2}
(2)
naiseki{h_k}{h_{k+1}}=absvec{h_k}absvec{h_{k+1}}cos(180DEG-kaku{}A_kA_{k+1}A_{k+2})
解答
(1)
図1 kaku{}A_1OA_2=theta とおくと, cos theta=bunsuu{1}{sqrt3} であり, k=1,2,3,cdots に対して, sankaku{}OA_kA_{k+1}souzi sankaku{}OA_{k+1}A_{k+2} が相似比 1:cos theta で成り立つから,
A_{k+1}A_{k+2} =cos theta A_kA_{k+1}
A_kA_{k+1} =cos^{k-1}theta A_1A_2
=sqrt{bunsuu23}(bunsuu{1}{sqrt3})^{k-1}
(2)
beku{h_k} と beku{h_{k+1}} のなす角は 180DEG-theta であるから,
naiseki{h_k}{h_{k+1}} =absvec{h_k}absvec{h_{k+1}}cos(180DEG-theta)
=sqrt{bunsuu23}(bunsuu{1}{sqrt3})^{k-1}sqrt{bunsuu23}(bunsuu{1}{sqrt3})^k(-bunsuu{1}{sqrt3})   (*1)
=-bunsuu23(bunsuu13)^k
よって,
retuwa{k=1}{n}naiseki{h_k}{h_{k+1}} =-bunsuu23bunsuu13bunsuu{1-(bunsuu13)^n}{1-bunsuu13}
=bunsuu13{(bunsuu13)^n-1}
解説
(*1)
cos(180DEG-theta)=-cos theta=-bunsuu{1}{sqrt3}
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