2008年前期 東北大学 4

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3
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文系学部
P が次のルール (i), (ii) に従って数直線上を移動するものとする。
(i)
1,2,3,4,5,6の目が同じ割合で出るサイコロを振り, 出た目の数を k とする。 P の座標 a について, a>0 ならば座標 a-k の点へ移動し, a<0 ならば座標 a+k の点へ移動する。
(ii)
原点に移動したら終了し, そうでなければ (i) を繰り返す。
このとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
P の座標が 1,2,cdots,6 のいずれかであるとき, ちょうど2回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ。
(2)
P の座標が 1,2,cdots,6 のいずれかであるとき, ちょうど3回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ。
(3)
P の座標が7であるとき, ちょうど n 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ。
ヒント
(1)
1回目で終了せず, 2回目で終了する.
(2)
1回目, 2回目で終了せず, 3回目で終了する.
(3)
1回目はどの目がでても終了しない.
解答
サイコロを n 回振ったときの P の座標を x_n とおくと, n 回目のサイコロの目が zettaiti{x_{n-1}} のときに終了する.
(1)
1回目に出る目が x_0 のとき1回目で終了し, x_0 でないとき zettaiti{x_1}=1,2,3,4,5 のいずれかである.
2回目は zettaiti{x_1} が出たときのみ終了するので, 求める確率は
bunsuu56cdot bunsuu16=bunsuu{5}{36}
(2)
2回目に zettaiti{x_1} 以外の目が出るとき, zettaiti{x_2}=1,2,3,4,5 のいずれかである.
3回目は zettaiti{x_2} が出たときのみ終了するので, 求める確率は
bunsuu56cdot bunsuu56cdot bunsuu16=bunsuu{25}{216}
(3)
1回目は何が出ても終了せず x_1=1,2,3,4,5,6 のいずれかとなる.
n 回目で初めて x_n=0 となるのは k (k=2,3,cdots,n-1) 回目で zettaiti{x_{k-1}} が出ることなく, n 回目で zettaiti{x_{n-1}} が出るときである.
k=2,3,cdots,n のとき zettaiti{x_{k-1}}=1,2,3,4,5,6 のいずれかであるから, 求める確率は
n=1のとき,0;n geqq2のとき,bunsuu16(bunsuu56)^{n-2}

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