2008年前期 東北大学 5

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3
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理系学部
多項式 f(x) について, 次の条件 (i), (ii), (iii) を考える。
(i)
x^4f(bunsuu{1}{x})=f(x)
(ii)
f(1-x)=f(x)
(iii)
f(1)=1
このとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
条件 (i) をみたす多項式 f(x) の次数は4以下であることを示せ。
(2)
条件 (i), (ii), (iii) をすべてみたす多項式 f(x) を求めよ。
ヒント
(1)
f(x) の次数を n とする.
(2)
条件の x に適当な値を代入して係数を求める.
すべての条件が成り立つ十分性の確認もすること.
解答
(1)
f(x) の次数を n とすると, f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0 とおける. 条件 (i) より,
f(x) =x^4(a_nx^{-n}+a_{n-1}x^{-(n-1)}+cdots+a_1x^{-1}+a_0)
=a_nx^{4-n}+a_{n-1}x^{5-n}+cdots+a_1x^{3}+a_0x^4
f(x) は多項式であるから, a_n=a_{n-1}=cdots=a_{5}=0
ゆえに, f(x) の次数は4以下である.
(2)
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e とおける.
(i) より
a+bx+cx^2+dx^3+ex^4=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
よって,
a=e,b=d \cdots\cdotseq1
(ii)x=0 を代入すると,
2a+2b+c=a
a+2b+c=0 \cdots\cdotseq2
x=-1 を代入すると,
17a+10b+4c=2a-2b+c
5a+4b+c=0 \cdots\cdotseq3
(iii) より,
2a+2b+c=1 \cdots\cdotseq4
以上より,
a=1,b=-2,c=3
このとき f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+1(i), (ii), (iii) をみたす.
ゆえに,
f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+1

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