2008年前期 東北大学 6

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理系学部
n を2以上の自然数とする。 平面上の sankaku{}OA_1A_2kaku{}OA_2A_1=90DEG, OA_1=1, OA_2=bunsuu{1}{sqrt{n}} をみたすとする。 A_2 から OA_1 へ垂線をおろし, 交点を A_3 とする。 A_3 から OA_2 へ垂線をおろし, 交点を A_4 とする。 以下同様に, k=4,5,cdots について, A_k から OA_{k-1} へ 垂線をおろし, 交点を A_{k+1} として, 順番に A_5, A_6, cdots を定める。 beku{h_k}=bekutoru{A_kA_{k+1}} とおくとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
k=1,2,cdots のとき, ベクトル beku{h_k}beku{h_{k+1}} の内積 naiseki{h_k}{h_{k+1}} を nk で表せ。
(2)
S_n=retuwa{k=1}{n}naiseki{h_k}{h_{k+1}} とおくとき, 極限値 dlim{n to infty}S_n を求めよ。 ここで, 自然対数の底 e について, e=dlim{n to infty}(1+bunsuu{1}{n})^n であることを用いてもよい。
ヒント
(1)
sankaku{}OA_kA_{k+1}souzi sankaku{}OA_{k+1}A_{k+2}
naiseki{h_k}{h_{k+1}}=absvec{h_k}absvec{h_{k+1}}cos(180DEG-kaku{}A_kA_{k+1}A_{k+2})
(2)
dlim{n to infty}(1+bunsuu{1}{n-1})^{n-1}=e
解答
(1)
図1 kaku{}A_1OA_2=theta とおくと, cos theta=sqrt{bunsuu{n-1}{n}} であり, k=1,2,3,cdots に対して, sankaku{}OA_kA_{k+1}souzi sankaku{}OA_{k+1}A_{k+2} が相似比 1:cos theta で成り立つから,
A_{k+1}A_{k+2} =cos theta A_kA_{k+1}
A_kA_{k+1} =cos^{k-1}theta A_1A_2
=bunsuu{1}{sqrt{n}}(sqrt{bunsuu{n-1}{n}})^{k-1}
beku{h_k}beku{h_{k+1}} のなす角は 180DEG-theta であるから,
naiseki{h_k}{h_{k+1}} =absvec{h_k}absvec{h_{k+1}}cos(180DEG-theta)
=bunsuu{1}{sqrt{n}}(sqrt{bunsuu{n-1}{n}})^{k-1}bunsuu{1}{sqrt{n}}(sqrt{bunsuu{n-1}{n}})^k(-sqrt{bunsuu{n-1}{n}})   (*1)
=-bunsuu{1}{n}(bunsuu{n-1}{n})^k
(2)
S_n =-bunsuu{1}{n}bunsuu{n-1}{n}bunsuu{1-(bunsuu{n-1}{n})^n}{1-bunsuu{n-1}{n}}
=bunsuu{n-1}{n}{1-(bunsuu{n-1}{n})^n}
=-(1-bunsuu{1}{n}){1-bunsuu{1-bunsuu{1}{n}}{(1+bunsuu{1}{n-1})^{n-1}}}
dlim{n to infty}(1+bunsuu{1}{n-1})^{n-1}=e であるから,
dlim{n to infty}S_n=-(1-bunsuu{1}{e})
解説
(*1)
cos(180DEG-theta)=-cos theta=-sqrt{bunsuu{n-1}{n}}

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