2008年前期 東北大学 7

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3
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理系学部
theta0<theta<bunsuu{2pi}{3} の範囲にある実数とし, 空間の4点 O, A, B, C が, OA=OB=OC=1 かつ kaku{AOB}=kaku{BOC}=kaku{COA}=theta をみたすとする。 このとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
sankaku{ABC} の重心を G とするとき, AGOG をそれぞれ theta で表せ。
(2)
theta を動かしたとき, O, A, B, C を頂点とする四面体の体積の最大値を求めよ。
ヒント
(1)
bekutoru{OG}=bunsuu{bekutoru{OA}+bekutoru{OB}+bekutoru{OC}}{3}
(2)
対称性より, sankaku{}ABC は正三角形であり, sankaku{}ABC perp OG
解答
(1)
absvec{OA}=absvec{OB}=absvec{OC}=1,vnaiseki{OA}{OB}=vnaiseki{OB}{OC}=vnaiseki{OC}{OA}=cos theta
bekutoru{OG}=bunsuu{bekutoru{OA}+bekutoru{OB}+bekutoru{OC}}{3} より,
absvec{OG}^2 =zettaiti{bunsuu{bekutoru{OA}+bekutoru{OB}+bekutoru{OC}}{3}}^2
=bunsuu{absvec{OA}^2+absvec{OB}^2+absvec{OC}^2+2(vnaiseki{OA}{OB}+vnaiseki{OB}{OC}+vnaiseki{OC}{OA})}{9}
=bunsuu{1+2cos theta}{3}
bekutoru{AG}=bunsuu{-2bekutoru{OA}+bekutoru{OB}+bekutoru{OC}}{3} より,
absvec{AG}^2 =zettaiti{bunsuu{-2bekutoru{OA}+bekutoru{OB}+bekutoru{OC}}{3}}^2
%,=bunsuu{4absvec{OA}^2+absvec{OB}^2+absvec{OC}^2 =bunsuu{2-2cos theta}{3}
ゆえに,
absvec{OG}=sqrt{bunsuu{1+2cos theta}{3}},absvec{AG}=sqrt{bunsuu{2-2cos theta}{3}}
(2)
対称性より, sankaku{}ABC は正三角形であり, sankaku{}ABC perp OG であるから, AB=sqrt3AG より,
sankaku{}ABC =bunsuu{sqrt3}{4}AB^2
=bunsuu{sqrt3}{2}(1-cos theta)
V =bunsuu13sankaku{}ABC cdot OG
=bunsuu16sqrt{(1-cos theta)^2(1+2cos theta)}
ここで, t=cos theta, f(t)=(1-t)^2(1+2t) とおくと, 0<theta<bunsuu{2}{3}pi より, -bunsuu12<t<1 であり, f'(t)=6t(t-1) より, f(t) の増減は表のようになる.
t,{-bunsuu12},cdots,0,cdots,1f'(t),,+,0,-,f(t),,NE,1,SE,
ゆえに, V の最大値は bunsuu16
別解
(2)
vnaiseki{OG}{AB} =bunsuu{bekutoru{OA}+bekutoru{OB}+bekutoru{OC}}{3}cdot(bekutoru{OB}-bekutoru{OA})
=0
vnaiseki{OG}{AC} =bunsuu{bekutoru{OA}+bekutoru{OB}+bekutoru{OC}}{3}cdot(bekutoru{OC}-bekutoru{OA})
=0
より, sankaku{}ABC perp OG である.
absvec{AB}^2=absvec{AC}^2=2(1-cos theta)
vnaiseki{AB}{AC}=(bekutoru{OB}-bekutoru{OA})cdot(bekutoru{OC}-bekutoru{OA})=1-cos theta
であるから,
sankaku{}ABC =bunsuu12sqrt{absvec{AB}^2absvec{AC}^2-(vnaiseki{AB}{AC})^2}
=bunsuu{sqrt3}{2}(1-cos theta)
以下, 同様.

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