2008年前期 東北大学 8

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3
Dept. :
理系学部
P が次のルール (i), (ii) に従って数直線上を移動するものとする。
(i)
1,2,3,4,5,6の目が同じ割合で出るサイコロを振り, 出た目の数を k とする。 P の座標 a について, a>0 ならば座標 a-k の点へ移動し, a<0 ならば座標 a+k の点へ移動する。
(ii)
原点に移動したら終了し, そうでなければ (i) を繰り返す。
このとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
P の座標が 1,2,cdots,6 のいずれかであるとき, ちょうど3回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ。
(2)
P の座標が 1,2,cdots,6 のいずれかであるとき, ちょうど m 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ。
(3)
P の座標が8であるとき, ちょうど n 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ。
ヒント
(1)
1回目, 2回目で終了せず, 3回目で終了する.
(2)
(1) と同様に, 1,2,cdots,m-1 回目で終了せず, m 回目で終了する.
(3)
1回目に1の目が出ると, 2回目で終了することはない.
1回目に1以外の目が出ると, 2回目で終了する場合もある.
解答
サイコロを n 回振ったときの P の座標を x_n とおくと, n 回目のサイコロの目が zettaiti{x_{n-1}} のとき x_n=0 となり終了する.
従って, zettaiti{x_{n-1}}in{1,2,3,4,5,6} であるとき, 終了する確率は bunsuu16, 終了しない確率は bunsuu56 である.
(1)
1回目は zettaiti{x_0} が出たときのみ終了し, zettaiti{x_0} ではないとき, zettaiti{x_1}in{1,2,3,4,5} である.
2回目は zettaiti{x_1} が出たときのみ終了し, zettaiti{x_1} ではないとき, zettaiti{x_2}in{1,2,3,4,5} である.
3回目は zettaiti{x_2} が出たときのみ終了するので, 求める確率は
bunsuu56cdot bunsuu56cdot bunsuu16=bunsuu{25}{216}
(2)
(1) と同様に, k (k=1,2,cdots,m-1) 回目で zettaiti{x_{k-1}} が出ることなく, m 回目で zettaiti{x_{m-1}} が出たとき, m 回目で終了するので, 求める確率は
(bunsuu56)^{m-1}cdot bunsuu16
(3)
サイコロの目に8はないので, 1回目で終了する確率は 0.
(i)
1回目に1の目が出る場合は, 2回目に終了することはなく, zettaiti{x_2}in{1,2,3,4,5,6} となるから, n (n geqq3) で終了する確率は,
bunsuu16cdot1(bunsuu56)^{n-3}cdot bunsuu16=bunsuu{1}{36}(bunsuu56)^{n-3}
(ii)
1回目に1以外の目が出る場合には, zettaiti{x_1}in{1,2,3,4,5,6} となるから, n (n geqq2) で終了する確率は,
bunsuu56(bunsuu56)^{n-2}cdot bunsuu16=bunsuu16(bunsuu56)^{n-1}
以上から, 求める確率は
n=1のとき,0;n=2のとき,bunsuu{5}{36};n geqq3のとき,bunsuu{31}{216}(bunsuu56)^{n-3}   (*1)
解説
(*1)
全ての確率を足すと1になることを利用して検算できる.
n geqq3 のときの確率の和は
retuwa{n=3}{infty}bunsuu{31}{216}(bunsuu56)^{n-3}=bunsuu{31}{216}bunsuu{1}{1-bunsuu56}=bunsuu{31}{36}
n=1,2 のときの確率とあわせると1になる.

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