2008年前期 東北大学 9

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3
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理系学部
a を実数として, 2次の正方行列 A, B を次のように定める。
A=gyouretu{1}{a+1}{0}{-1},B=gyouretu{a}{0}{2}{-a}
このとき, ((cos t)A+(sin t)B)^2=O をみたす実数 t が存在するような a の範囲を求めよ。 ただし, O は零行列とする。
ヒント
((cos t)A+(sin t)B)^2 を計算し, 全ての要素が0となるための条件を求める.
その条件をみたす t の存在条件を考えればよい.
解答
C=(cos t)A+(sin t)B=gyouretu{cos t+a sin t}{(a+1)cos t}{2sin t}{-cos t-a sin t} とおくと, ハミルトン・ケーリーの定理より,(*1)
C^2={(cos t+a sin t)^2-2(a+1)cos t sin t}E
C^2=O のとき,
(cos t+a sin t)^2-2(a+1)cos t sin t=0
cos^2t+2(2a+1)cos t sin t+a^2sin^2t=0
bunsuu{1+cos2t}{2}+(2a+1)sin2t+a^2bunsuu{1-cos2t}{2}=0   (*2)
2(2a+1)sin2t+(1-a^2)cos2t=-(a^2+1)
ここで, alphacos alpha=bunsuu{2(2a+1)}{sqrt{4(2a+1)^2+(1-a^2)^2}}, sin alpha=bunsuu{(1-a^2)}{sqrt{4(2a+1)^2+(1-a^2)^2}} をみたす角とすると,
sqrt{4(2a+1)^2+(1-a^2)^2}sin(2t+alpha)=-(a^2+1)   (*3)
sin(2t+alpha)=-bunsuu{a^2+1}{sqrt{4(2a+1)^2+(1-a^2)^2}}
よって, C^2=O をみたす実数 t が存在するための条件は,
bunsuu{a^2+1}{sqrt{4(2a+1)^2+(1-a^2)^2}}leqq1
(3a+1)(a+1)geqq0
a leqq-1,-bunsuu13leqq a
解説
(*1)
C の対角要素の和が0なので, C^2 の計算はハミルトン・ケーリーの定理を用いた方がラク.
(*2)
半角の公式
(*3)
三角比の合成

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