2008年前期 東北大学 10

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3
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理系学部
k>1 として, f(x)=x^2+2kx とおく。 曲線 y=f(x) と円 C:x^2+y^2=1 の2つの交点の内で, 第1象限にあるものを P とし, 第3象限にあるものを Q とする。 点 O(0,0), A(1,0), B(-1,0) に対して, alpha=kaku{AOP}, beta=kaku{BOQ} とおくとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
ka で表せ。
(2)
曲線 y=f(x) と円 C で囲まれる2つの図形の内で, y=f(x) の上側にあるものの面積 S(k)alphabeta で表せ。
(3)
dlim{k to infty}S(k) を求めよ。
ヒント
(1)
P は単位円上の点であり, 偏角が alpha であるから, (cos alpha,sin alpha) とおける.
(2)
扇形 OPQ とその他の3つに分けて面積を計算する.
(3)
cos alpha の極限を求めることにより alpha の極限が求まる.
解答
(1)
図1 P(cos alpha,sin alpha)y=f(x) 上にあるから,
sin alpha=cos^2alpha+2k cos alpha
0<alpha<bunsuu{pi}{2} より, cos alpha ne0 であるから,
k=bunsuu{sin alpha-cos^2alpha}{2cos alpha}

(2)
kaku{POQ}=pi-alpha+beta より, 扇形 OPQ の面積は
bunsuu12cdot1^2(pi-alpha+beta)
線分 OPy=f(x) で囲まれた図形の面積は
bunsuu16(cos alpha-0)^3   (*1)
線分 OQy=f(x) で囲まれた図形の面積は
bunsuu16{0-(-cos beta)}^3
ゆえに,
S(k)=bunsuu12(pi-alpha+beta)+bunsuu16(cos^3alpha+cos^3beta)
(3)
(1) と同様にして,
cos alpha =bunsuu{sin alpha-cos^2alpha}{2k}xrightarrow{k to infty}0   (*2)
cos beta =bunsuu{sin beta+cos^2beta}{2k}xrightarrow{k to infty}0
であるから, dlim{k to infty}alpha=dlim{k to infty}beta=bunsuu{pi}{2} である.
(2) より,
dlim{k to infty}S(k)=bunsuu{pi}{2}
解説
(*1)
dint{0}{cos alpha}{(tan alpha)x-(x^2+2kx)}dx =dint{0}{cos alpha}-x(x-cos alpha)dx
=bunsuu16(cos alpha-0)^3
であるが, x^2 の係数の絶対値と両端の値から, 直接 bunsuu16(cos alpha-0)^3 として構わない.
(*2)
分子はある一定の値より大きくならないから0に収束する.

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