2008年前期 筑波大学 1

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p, q を正の実数とする。x の方程式
log_{10}(px)cdot log_{10}(qx)+1=0
が1より大きい解をもつとき, 点 (log_{10}p,log_{10}q) の存在する範囲を座標平面上に図示せよ。
ヒント
a>0, b>0 のとき, log(ab)=log a+log b である.
log x=t, log p=a, log q=b と置く.
解答
p>0, q>0 であるから,
(log x+log p)(log x+log q)+1=0
log x=t, log p=a, log q=b とおくと, x>1Longleftrightarrow t>0 であるから,
(t+a)(t+b)+1=0
t^2+(a+b)t+ab+1=0
t>0 に解をもつ (a,b) の範囲を求めればよい.
ここで, f(t)=t^2+(a+b)t+ab+1 とおく.
判別式 (a+b)^2-4(ab+1)geqq0 が必要であり, さらに, f(0)=ab+1<0 または軸 -bunsuu{a+b}{2}>0 が成り立てばよい.(*1)
図1 ゆえに,
zettaiti{a-b}geqq2   かつab<-1;または;a+b<0
であるから, 求める範囲は図のようになる.
ただし, 境界線は実線を含み, 点線を含まない.

解説
(*1)
二次関数が解をもつことが必要であるから, 判別式が0以上.
下に凸であるから, f(0)<0 であれば, 0より大きい解と0より小さい解をもつ.
軸の x 座標と同じか大きい解をもつから, 軸の x 座標が0より大きいければ, 0より大きい解をもつ.

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