2008年前期 筑波大学 2

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xyz 空間内の点 P(1,0,1) と, xy 平面上の円 C:x^2+(y-2)^2=1 に属する点 Q(cos theta,2+sin theta,0) を考える。
(1)
直線 PQ と平面 z=t の交点の座標を (alpha,beta,t) とするとき, alpha^2+beta^2ttheta で表せ。
(2)
線分 PQz 軸のまわりに1回転させてできる曲面と平面 z=0, z=1 によって囲まれる立体の体積を theta で表せ。
(3)
QC 上を一周するとき, (2) で求めた体積の最大値, 最小値を求めよ。
ヒント
(1)
R(alpha,beta,t) は, bekutoru{PR}=k bekutoru{PQ} と表せる.
(2)
立体を z=t で切った断面積は, pi(alpha^2+beta^2) である.
(3)
0leqq theta<2pi である.
解答
(1)
図1 R(alpha,beta,t) とおくと,
bekutoru{OR}=bekutoru{OP}+k bekutoru{OQ}
となる実数 k が存在する.
Retube{alpha}{beta}{t}=Retube{(cos theta-1)k-1}{(sin theta+2)k}{1-k}
より, k=1-t であるから,
alpha^2+beta^2 ={(cos theta-1)(1-t)-1}^2+{(sin theta+2)(1-t)}^2
=2(2sin theta-cos theta+3)(t-1)^2+2(1-cos theta)(t-1)+1
=2(2sin theta-cos theta+3)t^2+2(-4sin theta+cos theta-5)t+4sin theta+5
(2)
図2 S(0,0,t) とし, 求める立体の体積を V とする.
立体を z=t で切った断面は中心 S, 半径 SR=sqrt{alpha^2+beta^2} の円であるから,
V =dint01pi zettaiti{SR}^2dt   (*1)
=pi dint01(alpha^2+beta^2)dt
=pi dint01{2(2sin theta-cos theta+3)(t-1)^2
+2(1-cos theta)(t-1)+1}dt
=bunsuu13(6+4sin theta+cos theta)pi

(3)
QC を一周するとき, 0leqq theta<2pi とする.
(2) より, Vcos gamma=bunsuu{4}{sqrt{17}}, sin gamma=bunsuu{1}{sqrt{17}} を満たす角 gamma (0leqq gamma<2pi) を用いて,
V=bunsuu13{6+sqrt{17}sin(theta+gamma)}pi   (*2)
と表せる.
gamma leqq theta+gamma<2pi+gamma より, -1leqq sin(theta+gamma)leqq1 であるから,
Vの最大値は,,bunsuu{6+sqrt{17}}{3}pi;Vの最小値は,,bunsuu{6-sqrt{17}}{3}pi
解説
(*1)
断面の面積が pi zettaiti{SR}^2 である.
(*2)
三角比の合成

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