2008年前期 筑波大学 3

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e は自然対数の底とする。t>e において関数 f(t), g(t) を次のように定める。
f(t)=dint{1}{e}bunsuu{t^2log x}{t-x}dx,g(t)=dint{1}{e}bunsuu{x^2log x}{t-x}dx
(1)
f(t)-g(t)t の1次式で表せ。
(2)
1leqq x leqq e かつ t>e のとき, bunsuu{1}{t-x}leqq bunsuu{1}{t-e} が成り立つことを用いて, dlim{t to infty}g(t)=0 を示せ。
(3)
dlim{t to infty}(f(t)-bunsuu{bt^2}{t-a})=0 となる定数 a, b を求めよ。
ヒント
(1)
共通因数でまとめる.
(2)
はさみうちの原理を使う.
(3)
分子の次数を下げる.
解答
(1)
f(t)-g(t) =dint{1}{e}bunsuu{(t^2-x^2)log x}{t-x}dx
=dint{1}{e}(t+x)log x dx
=t{teisekibun{x log x}{1}{e}-dint{1}{e}dx}+teisekibun{bunsuu12x^2log x}{1}{e}-dint{1}{e}bunsuu12x dx   (*1)
=t+bunsuu14(e^2+1)
(2)
1leqq x leqq e かつ t>e のとき, 0<bunsuu{1}{t-x}leqq bunsuu{1}{t-e} であるから,
0<g(t)leqq dint{1}{e}bunsuu{x^2log x}{t-e}dx=bunsuu{1}{t-e}dint{1}{e}x^2log x dx
t to infty のとき, bunsuu{1}{t-e}dint{1}{e}x^2log x dx to0 であるから, はさみうちの原理より,
dlim{t to infty}g(t)=0
(3)
f(t)-bunsuu{bt^2}{t-a} =g(t)+t+bunsuu14(e^2+1)-bunsuu{bt^2}{t-a}
=g(t)+(1-b)t-bunsuu{a^2b}{t-a}+bunsuu14(e^2+1)-ab
t to infty のとき, g(t)to0, bunsuu{a^2b}{t-a}to0 であるから, f(t)-bunsuu{bt^2}{t-a}to0 であるためには (1-b)t+bunsuu14(e^2+1)-ab to0 であればよい.
ゆえに,
a=bunsuu14(e^2+1),     b=1(*2)
解説
(*1)
dint{1}{e}(t+x)log x dx=t dint{1}{e}log x dx+dint{1}{e}x log x dx
それぞれ部分積分する.
dint{1}{e}log x dx =teisekibun{x log x}{1}{e}-dint{1}{e}dx
dint{1}{e}x log x dx =teisekibun{bunsuu12x^2log x}{1}{e}-dint{1}{e}bunsuu12x dx
(*2)
1-b>0 なら +infty に, 1-b<0 なら -infty に発散するので、1-b=0
このとき, bunsuu14(e^2+1)-ab に収束するので bunsuu14(e^2+1)-ab=0
(*3)
題意には沿わないが, (2) は,
g(t)=dint{1}{e}bunsuu{x^2log x}{t-e}dx=bunsuu{2e^3+1}{9(t-e)}
であるので, これを求めた上で極限を導くこともできる.

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