2008年前期 筑波大学 4

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二つの数列 {a_n}, {b_n} を次の漸化式によって定める。
a_1=3,b_1=1
a_{n+1}=bunsuu12(3a_n+5b_n)
b_{n+1}=bunsuu12(a_n+3b_n)
(1)
すべての自然数 n について, a_n^2-5b_n^2=4 であることを示せ。
(2)
すべての自然数 n について, a_n, b_n は自然数かつ a_n+b_n は偶数であることを証明せよ。
ヒント
(1)
a_{n+1}^2-5b_{n+1}^2a_n, b_n で表す.
(2)
数学的帰納法で示す.
解答
(1)
a_{n+1}^2-5b_{n+1}^2 ={bunsuu12(3a_n+5b_n)}^2+{bunsuu12(a_n+3b_n)}^2
=a_n^2-5b_n^2
よって,
a_n^2-5b_n^2=a_1^2-5b_1^2=4
(2)
すべての自然数 n について,
a_n,b_nは自然数かつa_n+b_nは偶数 \cdots\cdotseq1
が成り立つことを数学的帰納法によって示す.
(i)
n=1 のとき, a_1=3, b_1=1, a_1+b_1=4 より成り立つ.
(ii)
n=k のとき, 式1 が成り立つと仮定する.
a_{k+1}=bunsuu12(3a_k+5b_k) =bunsuu32(a_k+b_k)+b_k
b_{k+1}=bunsuu12(a_k+3b_k) =bunsuu12(a_k+b_k)+b_k
より, a_{k+1}, b_{k+1} ともに自然数であり(*1),
a_{k+1}+b_{k+1}=2(a_k+2b_k)
より, a_{k+1}+b_{k+1} は偶数であるから, 式1n=k+1 でも成り立つ.
以上から, 数学的帰納法により, すべての自然数 n について, 式1 は成り立つ.
解説
(*1)
仮定より, a_k, b_k は自然数かつ a_k+b_k は偶数であるから, bunsuu12(a_k+b_k) は自然数.
よって, bunsuu32(a_k+b_k)+b_k, bunsuu12(a_k+b_k)+b_k も自然数.

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