2008年前期 筑波大学 5

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行列 A=gyouretu{1}{-2}{-2}{1} について, 次の問いに答えよ。
(1)
P=gyouretu{1}{-a}{a}{1}, D=gyouretu{x}{0}{0}{y} とする。 AP=PD が成り立つとき, a, x, y を求めよ。ただし a>0 とする。
(2)
(A+tE)^n=4E が成り立つような実数 t と自然数 n の組をすべて求めよ。 ただし E=gyouretu1001 とする。
ヒント
(1)
AP=PD の両辺を比較する.
(2)
AP=PD より, P^{-1}AP=D である.
解答
(1)
gyouretu{1}{-2}{-2}{1}gyouretu{1}{-a}{a}{1} =gyouretu{1}{-a}{a}{1}gyouretu{x}{0}{0}{y}
gyouretu{1-2a}{-a-2}{-2+a}{2a+1} =gyouretu{x}{-ay}{ax}{y}
両辺を比較すると, a>0 より,
a=1,     x=-1,     y=3
(2)
(1) で求めた P, D に対し, P^{-1}AP=D であるから,
P^{-1}(A+tE)^nP ={P^{-1}(A+tE)P}^n   (*1)
=(D+tE)^n
=gyouretu{-1+t}{0}{0}{3+t}^n
=gyouretu{(t-1)^n}{0}{0}{(t+3)^n}   (*2)
一方, (A+tE)^n=4E が成り立つとき,
P^{-1}(A+tE)^nP=4E
よって,
gyouretu{(t-1)^n}{0}{0}{(t+3)^n}=4E
(t-1)^n=4(t+3)^n=4
ゆえに,
t=-1,     n=2
解説
(*1)
P^{-1}(A+tE)^nP =P^{-1}(A+tE)PP^{-1}(A+tE)P cdots P^{-1}(A+tE)P
={P^{-1}(A+tE)P}^n
(*2)
対角行列のべき乗は gyouretu{alpha}{0}{0}{beta}^n=gyouretu{alpha^n}{0}{0}{beta^n} である.

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