2008年前期 筑波大学 6

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放物線 C:y=x^2 上の異なる2点 P(t,t^2), Q(s,s^2) (s<t) における接線の交点を R(X,Y) とする。
(1)
X, Ys, t を用いて表せ。
(2)
P, Qkaku{PRQ}=bunsuu{pi}{4} を満たしながら C 上を動くとき, 点 R は双曲線上を動くことを示し, かつ, その双曲線の方程式を求めよ。
ヒント
(1)
y=f(x)x=t における接線の方程式は y=f'(t)(x-t)+f(t).
(2)
x 軸の正方向と直線のなす角を theta とすると, 直線の傾きは tan theta.
解答
(1)
P における接線は,
y-t^2=2t(x-t)
y=2tx-t^2
同様に, 点 Q における接線の方程式は,
y=2sx-s^2
ゆえに,
R(bunsuu{s+t}{2},st)
(2)
s, t が存在するから, s, t を2解にもつ方程式 u^2-(s+t)u+st=0Longleftrightarrow u^2-2Xu+Y=0 の判別式が正である.
X^2-Y>0 \cdots\cdotseq1
図1 このとき, 直線 y=2tx-t^2, y=2sx-s^2x 軸の正方向となす角をそれぞれ alpha, beta とすると,
tan alpha=2t,tan beta=2s
tan kaku{PRQ} =tan(beta-alpha)
=bunsuu{tan beta-tan alpha}{1+tan alpha tan beta}
=bunsuu{2s-2t}{1+4st}

kaku{PQR}=bunsuu{pi}{4} を満たすとき,
bunsuu{2s-2t}{1+4st} =1
2(s-t) =1+4st
-2sqrt{(s+t)^2-4st} =1+4st   (*1)
-2sqrt{(2X)^2-4Y} =1+4Y
16(X^2-4Y)=(1+4Y)^2 1+4Y<0
2X^2-2(Y+bunsuu34)^2=-1Y<-bunsuu14
図2 これは 式1 を満たす.
ゆえに, R は双曲線
bunsuu{x^2}{bunsuu12}-bunsuu{(y+bunsuu34)^2}{bunsuu12}=-1(y<-bunsuu14)
の下側の曲線上を動く.

解説
(*1)
s<t より, s-t<0 であるから, s-t=-sqrt{(s-t)^2}.

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