2008年前期 千葉大学 1

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sankaku{ABC} において BC=2, kaku{B}+kaku{C}=60DEG とする。
(1)
このような三角形の面積の最大値を求めよ。 そのときの2辺 AB, AC の長さを求めよ。
(2)
(1) で得た三角形の内接円の半径を求めよ。
ヒント
(1)
kaku{B}=kaku{C} の二等辺三角形になるときに最大になることが予想できる.
A がどのような軌跡を描くかを考えると簡単に説明できる.
kaku{B}=theta とおいて, 計算によって求めてもよい.
(2)
三角形の面積と内接円の半径の関係を使えばよい.
解答
(1)
図1 kaku{B}+kaku{C}=60DEG より, kaku{A}=120DEG であるから, A は図の弧 ko{BC} 上を動く.
sankaku{ABC} の面積が最大となるのは ABC の距離が最大のとき, すなわち AB=AC のときである.
このとき, kaku{B}=kaku{C}=30DEG であるから, BC の中点を M とすると, AM=bunsuu{1}{sqrt{3}}BM=bunsuu{1}{sqrt{3}} より,
図2
sankaku{ABC} =bunsuu12cdot BC cdot AM
=bunsuu12cdot2cdot bunsuu{1}{sqrt{3}}
=bunsuu{sqrt3}{3}
このとき, AB=AC=bunsuu{2sqrt{3}}{3}
(2)
sankaku{ABC} の内接円の半径を r とすると,
sankaku{ABC} =bunsuu12(AB+BC+CA)r   (*1)
bunsuu{sqrt{3}}{3} =bunsuu12(bunsuu{2sqrt{3}}{3}+2+bunsuu{2sqrt{3}}{3})r
r =bunsuu{sqrt{3}}{2sqrt{3}+3}
=2-sqrt{3}
別解
(1)
kaku{B}=theta とすると, 正弦定理より,
bunsuu{AB}{sin(60DEG-theta)} =bunsuu{BC}{sin120DEG}
AB =bunsuu{4sqrt{3}}{3}sin(60DEG-theta)
sankaku{ABC} =bunsuu12AB cdot BC sin theta
=bunsuu12bunsuu{4sqrt{3}}{3}2sin(60DEG-theta)sin theta
=bunsuu{4sqrt{3}}{3}bunsuu{cos(2theta-60DEG)-cos60DEG}{2}   (*2)
よって, sankaku{ABC}theta=30DEG のとき最大値 bunsuu{4sqrt{3}}{3}bunsuu{1-bunsuu12}{2}=bunsuu{sqrt{3}}{3} をとる.
(1)
AB=c, BC=a, CA=b とおく.
kaku{B}+kaku{C}=60DEG より kaku{A}=120DEG
sankaku{ABC}=bunsuu12bc sin120DEG=bunsuu{sqrt{3}}{4}bc
余弦定理より,
a^2 =b^2+c^2-2bc cos A
4 =b^2+c^2-2bc cos120DEG
=b^2+c^2+bc
相加相乗平均より
b^2+c^2+bc geqq2sqrt{b^2c^2}+bc
=3bc
bc leqq bunsuu{4}{3}
ただし, 等号は b=c=bunsuu{2sqrt{3}}{3} のときに成り立つ.
ゆえに, sankaku{ABC}AB=AC=bunsuu{2sqrt{3}}{3} のとき, 最大値 bunsuu{sqrt{3}}{4}bunsuu{4}{3}=bunsuu{sqrt{3}}{3} をとる.
解説
(*1)
三角形の面積と内接円の半径の関係
(*2)
積和の公式 sin alpha sin beta=bunsuu12{-cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)}

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