2008年前期 千葉大学 3

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正三角形 ABC は, 1辺の長さが1である正六角形の辺上に 3頂点をもつとする。
(1)
このような正三角形 ABC の1辺の長さ AB の最大値と最小値を求めよ。
(2)
頂点 A が正六角形の1辺を1:2に内分しているとき AB^2 を求めよ。
ヒント
(1)
ABOA の関係を求め, OA について考える.
(2)
同じく OA^2 を考える.
解答
(1)
図1 正六角形を PQRSTU とし, A が辺 PQ 上にあるとする.
sankaku{OAB} における正弦定理より,
bunsuu{AB}{sin30DEG} =bunsuu{OA}{sin120DEG}
AB =sqrt{3}OA
OA が最小となるのは AO から PQ へ下ろした垂線の足, すなわち PQ の中点となるときである.
このとき OA=bunsuu{sqrt{3}}{2} より, AB の最小値は bunsuu32
OA が最大となるのは AP または Q と一致するときで, このとき OA=1 より, AB の最大値は sqrt{3}
(2)
sankaku{OPA} における余弦定理より,
OA^2 =OP^2+PA^2-2OP cdot PA cos60DEG
=1^2+(bunsuu13)^2-2cdot1cdot bunsuu13cdot bunsuu12
=bunsuu79
ゆえに,
AB^2 =3OA^2
=bunsuu73

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