2008年前期 千葉大学 4

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3
n を自然数とする。 1個のさいころを続けて2回投げ, 1回目に出た目の数を x, 2回目に出た目の数を y とする。 zettaiti{x-n}+zettaiti{y-n}leqq n となる確率を P_n で表すとき, 次の問いに答えよ。
(1)
P_1 を求めよ。
(2)
P_n が最大となる n を求め, そのときの P_n を求めよ。
(3)
P_n=bunsuu{1}{36} となる n を求めよ。
ヒント
(1)
全36通りのうち, zettaiti{x-1}+zettaiti{y-1}leqq1 をみたす (x,y) が何通りあるか数える.
(2)
n>12 のとき, P_n=0 である. P_nn の式で表すよりも, 1leqq n leqq12n に対してそれぞれの値を求める方が早くて楽だろう.
(3)
(x,y) が1組しかない場合である. (2) の結果を利用しよう.
解答
x, y は互いに独立であるから, (x,y) の組み合わせは 6times6=36 通りであり, これらは同様に確からしい.
(1)
zettaiti{x-1}+zettaiti{y-1}leqq1 より,
(x,y)=(1,1),(1,2),(2,1)
の3通りであるから,
P_1=bunsuu{3}{36}=bunsuu{1}{12}
(2)
n=2 のとき, zettaiti{x-2}+zettaiti{y-2}leqq2 より,
(zettaiti{x-2},zettaiti{y-2})=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)
(x,y)=(2,2)(2,1)(2,3),(2,4),(1,2),(3,2),(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(4,2)
よって,
P_2=bunsuu{11}{36}
同様にして,
P_1=bunsuu{3}{36}, P_2=bunsuu{11}{36}, P_3=bunsuu{23}{36}, P_4=bunsuu{31}{36}, P_5=bunsuu{30}{36}, P_6=bunsuu{26}{36},
P_7=bunsuu{21}{36}, P_8=bunsuu{15}{36}, P_9=bunsuu{10}{36}, P_{10}=bunsuu{6}{36}, P_{11}=bunsuu{3}{36}, P_{12}=bunsuu{1}{36}
また, n>12 のとき P_n=0 である.
ゆえに, P_nn=4 のとき 最大値 P_4=bunsuu{31}{36} をとる.
(3)
(2) より, P_n=bunsuu{1}{36} となる n は,
n=12
別解
図1 zettaiti{x-n}+zettaiti{y-n}leqq n の表す領域は図の斜線部分 D_n である.(*1)ただし, 境界線を含む.
D:{(x,y)vert1leqq x,y leqq6} との共通部分の格子点 (x,y) の個数を a_n とすると,
P_n=bunsuu{a_n}{36}
n>12 のとき, a_n=0 であるから, 1leqq n leqq12 について考える.

(i)
図2n=1,2,3 のとき, D_n 上の格子点のうち, 軸上の点 (n,0), (0,n) が除外される.
a_1 =(1+3+1)-2=3
a_2 =(1+3+5+3+1)-2=11
a_3 =(1+3+5+7+5+3+1)-2=23

(ii)
図3n=4,5,6 のとき, D の格子点から, 除外される格子点の数を数える.
a_4 =36-{(1+2)+1times2}=31
a_5 =36-{(1+2+3)}=30
a_6 =36-{(1+2+3+4)}=26

(iii)
図4n geqq7 のとき, D_nD の共通部分の格子点の個数を数える.
a_7 =1+2+cdots+6=21
a_8 =1+2+cdots+5=15
a_9 =1+2+3+4=10
a_{10} =1+2+3=6
a_{11} =1+2=3
a_{12} =1
以上より,
(1)
P_1=bunsuu{3}{36}=bunsuu{1}{12}
(2)
P_nn=4 のとき 最大値 P_4=bunsuu{31}{36} をとる.
(3)
P_n=bunsuu{1}{36} となる n は, n=12
解説
(*1)
zettaiti{x-n}+zettaiti{y-n}leqq n の絶対値をはずすと,
(i)
x geqq n, y geqq n のとき, (x-n)+(y-n)leqq n より y leqq-x+3n
(ii)
x geqq n, y<n のとき, (x-n)-(y-n)leqq n より y geqq x-n
(iii)
x<n, y geqq n のとき, -(x-n)+(y-n)leqq n より y leqq x+n
(iv)
x<n, y<n のとき, -(x-n)-(y-n)leqq n より y geqq-x+n

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