2008年前期 千葉大学 5

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以下の問いに答えよ。
(1)
x を有理数とする。7x^2 が整数ならば, x は整数であることを示せ。
(2)
a, b を整数とする。a^2-7b^2 が4の倍数ならば, ab はともに偶数であることを示せ。
(3)
r は整数, s は有理数とする。 (bunsuu{r}{2})^2-7s^2 が整数ならば, s は整数であることを示せ。
ヒント
(1)
x=bunsuu{n}{m} (mn は互いに素な整数) と置いて、m=1 を導く.
(2)
対偶を示す.
(3)
(1),(2) の結果を利用する.
解答
(1)
x=0 のとき, 自明である.
x neq0 のとき, x は有理数であるから, x=bunsuu{n}{m} (mn は互いに素な整数) と表せる.
7x^2=k とおくと,
7bunsuu{n^2}{m^2} =k
7bunsuu{n^2}{m} =mk
k が整数ならば, mk も整数であり, mn は互いに素であるから, m=1 または m=7(*1)
m=7 とすると, n^2=7k となり n は7の倍数であるが, これは mn が互いに素であることに矛盾する.
よって, m=1 であるから, x は整数である.
(2)
(i)
a, b がいずれも奇数のとき, a=2p+1, b=2q+1 (p, q は整数) とおける.
a^2-7b^2 =(2p+1)^2-7(2q+1)^2
=4(p^2+p-7q^2-7q-2)+2
これは4の倍数ではない.
(ii)
a が奇数, b が偶数のとき、 a=2p, b=2q+1 (p, q は整数) とおける.
a^2-7b^2 =(2p+1)^2-7(2q+1)^2
=4(p^2+p-7q^2)+1
これは4の倍数ではない.
(iii)
a が偶数, b が奇数のとき、 a=2p+1, b=2q (p, q は整数) とおける.
a^2-7b^2 =(2p)^2-7(2q+1)^2
=4(p^2-7q^2-7q-2)+1
これは4の倍数ではない.
よって,「a, b の少なくとも1つが偶数でない」ならば,「a^2-7b^2 は4の倍数ではない」
対偶をとると,「a^2-7b^2 は4の倍数」ならば, 「a, b がともに偶数」
(3)
(bunsuu{r}{2})^2-7s^2=bunsuu14{r^2-7(2s)^2} が整数ならば, r^2-2(2s)^2 は4の倍数である.
r が整数であるから, 7(2s)^2 は整数であり, (1)より 2s は整数である.
また, r^2-7(2s)^2 が4の倍数であるから, (2) より r2s は偶数である.
ゆえに, s は整数である.
解説
(*1)
mk が整数だから, bunsuu{7n^2}{m} も整数. m7n^2 の約数であるが, mn は互いに素であるから, m は7の約数である.

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