2008年前期 千葉大学 6

Posted by :
Date :
Level :
3
2次関数 f(x)
xf(x)=bunsuu23x^3+(x^2+x)dint01f(t)dt+dint0x f(t)dt
を満たすとする。
(1)
f(x) を求めよ。
(2)
関数 xf(x)x geqq0 における最小値を求めよ。
ヒント
(1)
f(x) は2次関数なので, 素直に f(x)=ax^2+bx+c とおいて解けばよい.
(2)
3次関数の最小値なので, 微分して増減を考えればよい.
解答
(1)
f(x) は2次関数なので, f(x)=ax^2+bx+c と表せる. 与えられた関係式より,
x(ax^2+bx+c)=bunsuu23x^3+(x^2+x)dint{0}{1}(at^2+bt+c)dt+dint{0}{x}(at^2+bt+c)dt
ax^3+bx^2+cx =bunsuu23x^3+(x^2+x)teisekibun{bunsuu{a}{3}t^3+bunsuu{b}{2}t^2+ct}01+teisekibun{bunsuu{a}{3}t^3+bunsuu{b}{2}t^2+ct}0x
=bunsuu23x^3+(bunsuu{a}{3}+bunsuu{b}{2}+c)(x^2+x)+bunsuu{a}{3}x^3+bunsuu{b}{2}x^2+cx
=(bunsuu23+bunsuu{a}{3})x^3+(bunsuu{a}{3}+b+c)x^2+(bunsuu{a}{3}+bunsuu{b}{2}+2c)x
両辺の係数を比較すると
a=bunsuu23+bunsuu{a}{3}[6pt]b=bunsuu{a}{3}+b+c[6pt]c=bunsuu{a}{3}+bunsuu{b}{2}+2c
これを解いて,
a=1,     b=0,      c=bunsuu{1}{3}
よって
f(x)=x^2-bunsuu{1}{3}
(2)
g(x)=xf(x)=x^3-bunsuu13x とおくと,
g'(x) =3x^2-bunsuu13
=3(x+bunsuu13)(x-bunsuu13)
x geqq0 における g(x) の増減は表のようになる.
x,0,cdots,{bunsuu13},cdots g'(x),,-,0,+g(x),0,SE,{-bunsuu{2}{27}},NE
よって, xf(x)x geqq0 における最小値は
g(bunsuu13)=-bunsuu{2}{27}
別解
(1)
dint{0}{1}f(t)dt=a とおき, 与えられた関係式を両辺微分すると
f(x)+xf'(x) =2x^2+a(2x+1)+f(x)
xf'(x) =2x^2+2ax+a
f'(x) =2x+2a+bunsuu{a}{x}
f(x) は2次関数なので a=0 であり, f(x)=x^2+C と表せる.
a =dint{0}{1}f(t)dt
=[bunsuu13t^3+Ct]_0^1
=bunsuu13+C
よって
C=-bunsuu13
ゆえに
f(x)=x^2-bunsuu13

Return to page top