2008年前期 千葉大学 7

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平面上の sankaku{ABC} において, 辺 AB を4:3に内分する点を D, 辺 BC を1:2に内分する点を E とし, 線分 AECD の交点を O とする。
(1)
bekutoru{AB}=beku{p}, bekutoru{AC}=beku{q} とするとき, ベクトル bekutoru{AO}beku{p}, beku{q} で表せ。
(2)
Osankaku{ABC} の外接円の中心になるとき, 3辺 AB, BC, CA の長さの2乗の比を求めよ。
ヒント
(1)
absvec{p}^2, absvec{q}^2, naiseki{p}{q} の比を求めればよい. 外心は各辺の垂直二等分線の交点であることを利用する.
解答
(1)
図1O は直線 AB 上にあるので,
bekutoru{AO} =s bekutoru{AE}
=s bunsuu{2beku{p}+beku{q}}{1+2}
=bunsuu{2}{3}s beku{p}+bunsuu{1}{3}s beku{q}
O は直線 DC 上にあるので,
bekutoru{AO} =(1-t)bekutoru{AD}+t bekutoru{AC}
=bunsuu{4}{7}(1-t)beku{p}+t beku{q}
beku{p}, beku{q} は一次独立であるから,
bunsuu{2}{3}s,=bunsuu{4}{7}(1-t)[6pt]bunsuu{1}{3}s,=t
これを解いて,
s=bunsuu{2}{3},     t=bunsuu{2}{9}
よって,
bekutoru{AO}=bunsuu{4}{9}beku{p}+bunsuu{2}{9}beku{q}
(2)
AB, AC の中点をそれぞれ M, N とすると,
bekutoru{OM} =bekutoru{AM}-bekutoru{AO}
=bunsuu{1}{18}(beku{p}-4beku{q})
bekutoru{ON} =bekutoru{AN}-bekutoru{AO}
=bunsuu{1}{18}(-8beku{p}+5beku{q})
OM bot AB, ON bot AC であるから,
vnaiseki{OM}{AB}=0,      vnaiseki{ON}{AC}=0
よって,
absvec{p}^2=4naiseki{p}{q}[6pt]absvec{q}^2=bunsuu85naiseki{p}{q};
このとき,
absvec{BO}^2 =zettaiti{beku{q}-beku{p}}^2
=absvec{q}^2-2naiseki{p}{q}+absvec{p}^2
=4naiseki{p}{q}-2naiseki{p}{q}+bunsuu{8}{5}naiseki{p}{q}
=bunsuu{18}{5}naiseki{p}{q}
よって,
zettaiti{AB}^2:zettaiti{BC}^2:zettaiti{CA}^2 =absvec{p}^2:zettaiti{beku{q}-beku{p}}^2;absvec{q}^2
=4naiseki{p}{q}:bunsuu{18}{5}naiseki{p}{q}:bunsuu85naiseki{p}{q}
=10:9:4
別解
(2)
bekutoru{BO} =bekutoru{AO}-bekutoru{AB}=-bunsuu59beku{p}+bunsuu29beku{q}
bekutoru{CO} =bekutoru{AO}-bekutoru{AC}=bunsuu49beku{p}-bunsuu79beku{q}
より,
absvec{AO}^2 =bunsuu{1}{81}(16absvec{p}^2+16naiseki{p}{q}+4absvec{q}^2)
absvec{BO}^2 =bunsuu{1}{81}(16absvec{p}^2-56naiseki{p}{q}+49absvec{q}^2)
absvec{CO}^2 =bunsuu{1}{81}(25absvec{p}^2-20naiseki{p}{q}+4absvec{q}^2)
Osankaku{ABC} の外心であるとき,
absvec{AO}^2=absvec{BO}^2=absvec{CO}^2
であるから,
absvec{p}^2=4naiseki{p}{q}[6pt]absvec{q}^2=bunsuu85naiseki{p}{q};
以下, 同様.

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