2008年前期 千葉大学 8

Posted by :
Date :
Level :
3
1から n までの番号が書かれた n 枚のカードがある。 この n 枚のカードの中から1枚を取り出し, その番号を記録してからもとに戻す。 この操作を3回繰り返す。記録した3個の番号が3つとも異なる場合には大きい方から2番目の値を X とする。2つが一致し, 1つがこれと異なる場合には, 2つの同じ値を X とし, 3つとも同じならその値を X とする。
(1)
確率 P(X leqq k) (k=1,2,cdots,n) を求めよ。
(2)
確率 P(X=k) (k=1,2,cdots,n) を求めよ。
(3)
P(X=k) が最大となる k の値はいくつか。
ヒント
(1)
3つとも k 以下となる場合, 2つだけが k 以下となる場合を考えればよい.
(2)
P(X=k)=P(X leqq k)-P(X leqq k-1) を求めればよいが, k の取り得る値に注意すること.
(3)
k の2次式なので, 平方完成すればよいが, k が整数であることに注意する.
解答
(1)
3つとも k 以下となる場合は k^3 通り.
2つが k 以下であり, 他の1つが k より大きい場合は kumiawase{3}{1}k^2(n-k) 通り.
よって, k=1,2,cdots,n のとき, 求める確率は
P(X leqq k)=bunsuu{k^3+3k^2(n-k)}{n^3}=bunsuu{-2k^3+3nk^2}{n^3} \cdots\cdotseq1
(2)
P(X leqq0)=0 より, 式1k=0 でも成り立つので, k=1,2,cdots,n において,
P(X=k) =P(X leqq k)-P(X leqq k-1)
=bunsuu{-2k^3+3nk^2}{n^3}-bunsuu{-2(k-1)^3+3n(k-1)^2}{n^3}
=bunsuu{-2{k^3-(k-1)^3}+3n{k^2-(k-1)^2}}{n^3}
=bunsuu{-6k^2+6(n+1)k-3n-2}{n^3}
(3)
P(X=k)=bunsuu{1}{n^3}{-6(k-bunsuu{n+1}{2})^2+bunsuu{3(n+1)^2}{2}-3n-2}
より, P(X=k) が最大となる k
別解
(2)
3個の番号が3つとも異なるとき, 3!(n-1)(n-k) 通り.
2つが一致し, 1つが異なるとき, kumiawase{3}{2}(n-1) 通り.
3つとも同じとき, 1通り.
よって,
P(X=k) =bunsuu{3!(n-1)(n-k)}{n^3}+bunsuu{kumiawase{3}{2}(n-1)}{n^3}+bunsuu{1}{n^3}
=bunsuu{-6k^2+6(n+1)k-3n-2}{n^3}
解説
(*1)
kbunsuu{n+1}{2} に最も近いときに, P(X=k) は最大となる.
k=1,2,cdots n であるから, n が奇数のとき k=bunsuu{n+1}{2}, n が偶数のとき k=bunsuu{n}{2},bunsuu{n+2}{2}P(X=k) は最大となる.

Return to page top