2008年前期 千葉大学 9

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関数 y=log zettaiti{x} のグラフ G 上に動点 A, B があり, それぞれの x 座標を a, b とする。 A における接線と B における接線が直交し, a>0 であるとき, 以下の問いに答えよ。
(1)
ab を求めよ。
(2)
線分 AB の中点の存在範囲を求めよ。
(3)
直線 AB が点 (1,0) を通り, a neq1 を満たすとき, 直線 ABG で囲まれる図形の面積を求めよ。
ヒント
(1)
直線の直行条件は, 傾きの積が-1.
(2)
中点の座標を求めてみる. x 座標はどの範囲を動くか考える必要がある.
(3)
A の座標を求めればよい.
解答
(1)
y'=bunsuu1x より, A, B における接線の傾きはそれぞれ bunsuu1a, bunsuu1b である. 2接線が直交するから,
bunsuu1a bunsuu1b =-1
ab =-1
(2)
AB の中点を M(X,Y) とおくと,
X=bunsuu{a+b}{2},Y=bunsuu{log zettaiti{a}+log zettaiti{b}}{2}=bunsuu{log zettaiti{ab}}{2}
(1) より,
X=bunsuu12(a-bunsuu1a),     Y=0
dlim{aarrow+0}X=-infty, dlim{aarrow infty}X=+infty より X は全ての実数を取りうるので, M(X,Y)y=0 を動く.
(3)
(2) より, a neq1 のとき AB はその中点で x 軸と交わる.
よって,
bunsuu12(a-bunsuu1a) =1
a^2-2a-1 =0
a =1+sqrt{2}
図1 求める面積 S
S =dint{1}{1+sqrt{2}}log x dx-bunsuu12sqrt2log(1+sqrt{2})
=teisekibun{x(log x-1)}{1}{1+sqrt2}-bunsuu{sqrt{2}}{2}log(1+sqrt{2})
=bunsuu{2+sqrt{2}}{2}log(1+sqrt2)-sqrt2
別解
(2)
a=1+sqrt{2} まで同様.
求める面積 S
S =台形OMAH-dint{0}{log(1+sqrt{2})}e^y dy
=bunsuu{1+(1+sqrt{2})}{2}log(1+sqrt{2})-teisekibun{e^y}{0}{log(1+sqrt2)}
=bunsuu{2+sqrt{2}}{2}log(1+sqrt2)-sqrt2

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