2008年前期 千葉大学 10

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A=gyouretu{{bunsuu{sqrt{3}}{2}}}{-bunsuu12}{bunsuu12}{{bunsuu{sqrt{3}}{2}}},      B=gyouretu{1}{0}{0}{-1},      E=gyouretu{1}{0}{0}{1}
について以下の問いに答えよ。
(1)
A^m=E となる最小の自然数 m と, B^n=E となる最小の自然数 n を求めよ。
(2)
m(1) で求めた値とし, k1leqq k leqq m を満たす自然数とする。 単位円周上の点 P に対し, 行列 B, A^2, A^k で表される移動による P の行き先を, それぞれ Q, R, S とする。 sankaku{QRS} が正三角形となるような k, P の組をすべて求めよ。
ヒント
(1)
A は回転行列である.
(2)
P の偏角を theta とおくと, Q, R, S の偏角も求まる. Q, R, S は全て単位円周上の点のとき, sankaku{QRS} が正三角形になる条件を考える.
解答
(1)
R(theta)=gyouretu{cos theta}{-sin theta}{sin theta}{cos theta} とおくと, R^m(theta)=R(m theta) である.
A=R(bunsuu{pi}{6}) より, A^m=R(bunsuu{m}{6}pi)=E となるとき
bunsuu{m}{6}pi=2s pi     (sは整数)
s=1 のとき m は最小の自然数 m=12 となる.
また, B^2=E より, B^n=E を満たす最小の自然数 n
n=2
(2)
P(cos theta,sin theta) (0leqq theta<2pi) とおくと,
Q, R, S は偏角がそれぞれ -theta, bunsuu{pi}{3}+theta, bunsuu{k}{6}pi+theta の単位円周上の点である.
sankaku{QRS} が正三角形となるとき,
kaku{ROS}=bunsuu{k-2}{6}pi=pm bunsuu23pi+2t pi     (tは整数)(*1)
k=-2+12t,6+12t     (tは整数)
(1) より m=12 であるから, 1leqq k leqq12
よって k=6,10
(i)
k=6 のとき, kaku{ROS}=bunsuu23pi より,
kaku{QOR}=bunsuu{pi}{3}+2theta=bunsuu23pi+2u pi     (uは整数)
0leqq theta<2pi より theta=bunsuu{pi}{6},bunsuu76pi
(ii)
k=10 のとき, kaku{ROS}=bunsuu43pi より,
kaku{QOR}=bunsuu{pi}{3}+2theta=bunsuu43pi+2v pi     (vは整数)
0leqq theta<2pi より theta=bunsuu{pi}{2},bunsuu32pi
ゆえに,
k=6のとき,,P(pm bunsuu{sqrt{3}}{2},pm bunsuu{1}{2})(複合同順);k=10のとき,,P(0,pm1)
解説
(*1)
Q, R, S は単位円周上の点であるから, sankaku{RQS} が正三角形となる条件は kaku{RQS}=120DEG である.
Osankaku{RQS} の外心だから, kaku{RQS}=120DEG Longleftrightarrow kaku{ROS}=240DEG である.
一般角で表すと, kaku{ROS}=pm bunsuu23pi+2t pi

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