2008年前期 一橋大学 1

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k を正の整数とする。 5n^2-2kn+1<0 をみたす整数 n が, ちょうど1個であるような k をすべて求めよ。
ヒント
n=1 が解の場合と解でない場合で場合わけする.
解答
5n^2-2kn+1<0 \cdots\cdotseq1
f(x)=5x^2-2kx+1 とおく.
f(x)<0 を満たす x が存在するので, k^2-5>0.
k は正の整数なので, k は3以上の整数である.
f(1)=6-2k より,
(i)
k=3 のとき, 式15n^2-6n+1<0 となり, bunsuu15<n<1.
式1 を満たす整数 n は存在しないので, 不適.
(ii)
k geqq4 のとき, f(1)<0 より n=1式1 を満たす.
f(2)=21-4k geqq0 でなければならない(*1)から, k leqq bunsuu{21}{4}.
よって, k=4,5 であり, このとき 式1n=1 だけを解にもつ.(*2)
ゆえに, k=4,5
解説
(*1)
n=1式1 の解であるから, n=2 は解ではない. よって, f(2)geqq0 である.
(*2)
y=f(x) は下に凸の放物線で, f(0)=1>0, f(1)<0, f(2)>0 であるから, 式1n=1 以外に整数解をもたない.

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