2008年前期 一橋大学 2

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3次方程式 x^3+ax^2+bx+c=0 は異なる3つの解 p, q, r をもつ。 さらに, 2p^2-1, 2q-1, 2r-1 も同じ方程式の異なる3つの解である。 a, b, c, p, q, r の組をすべて求めよ。
ヒント
{p, q, r}{2p^2-1, 2q-1, 2r-1} が一致する条件を場合分けする.
qr の対称性を利用すると, 場合わけを減らせる.
(p,q,r) の組み合わせを求めた後, 解と係数の関係から a, b, c を求める.
解答
集合 {p,q,r}{2p^2-1,2q-1,2r-1} が一致するので, p2p^2-1, 2q-1, 2r-1 のいずれかに等しい.
(I)
p=2p^2-1 のとき, (q,r)=(2q-1,2r-1),(2r-1,2q-1) であるが、いずれの場合も q=r=1 となるため, 不適.
(II)
p=2q-1 のとき, (q,r)=(2p^2-1,2r-1),(2r-1,2p^2-1) である.
(i)
(q,r)=(2p^2-1,2r-1) のとき, r=1
q=2p^2-1=2(2q-1)^2-1
(q-1)(8q-1)=0
r=1 より q neq1 であるから, q=bunsuu18.
よって,
(p,q,r)=(-bunsuu34,bunsuu18,1)
(ii)
(q,r)=(2r-1,2p^2-1) のとき,
p=2q-1=2(2r-1)-1=4r-3
r=2p^2-1=2(4r-3)^2-1
(r-1)(32r-17)=0
r=1 とすると, q=1 となり不適.
よって,
(p,q,r)=(-bunsuu76,bunsuu{1}{16},bunsuu{17}{32})
(III)
p=2r-1 のとき, (II)q, r に関して対称であるから,
(p,q,r)=(-bunsuu34,1,bunsuu18),(-bunsuu76,bunsuu{17}{32},bunsuu{1}{16})
解と係数の関係より, p+q+r=-a, pq+qr+rp=b, pqr=-c であるから,
(p,q,r)=,(-bunsuu34,bunsuu18,1),(-bunsuu34,1,bunsuu18)のとき,[6pt],(a,b,c)=(-bunsuu38,-bunsuu{23}{32},bunsuu{3}{32})[6pt](p,q,r)=,(-bunsuu76,bunsuu{1}{16},bunsuu{17}{32}),(-bunsuu76,bunsuu{17}{32},bunsuu{1}{16})のとき,[6pt],(a,b,c)=(bunsuu{9}{32},-bunsuu{249}{512},bunsuu{119}{4096})

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