2008年前期 一橋大学 3

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a を正の実数とする。点 (x,y) が, 不等式 x^2leqq y leqq x の定める領域を動くとき, 常に bunsuu12leqq(x-a)^2+y leqq2 となる。a の値の範囲を求めよ。
ヒント
x^2leqq y leqq x の表す領域 D_1bunsuu12leqq(x-a)^2+y leqq2 の表す領域 D_2 に包含されている. それぞれの領域を図示して, a が動くと D_2 がどのように動くか考える.
解答
x^2leqq y leqq x の表す領域 D_1, bunsuu12leqq(x-a)^2+y leqq2 の表す領域 D_2 はそれぞれ図のようになる.ただし, いずれも境界線を含む.
図1 図2
D_1D_2 に包含される a の範囲を求めればよい.
(i)
図3 a が最大となるのは, D_2 の境界線 y=-(x-a)^2+2 が点 (0,0) を通るときであり, このとき a=sqrt2.

(ii)
図4 a が最小となるのは, D_2 の境界線 y=-(x-a)^2+bunsuu12D_1 の境界線 y=x^20leqq x leqq1 で接するときである.
このとき x^2=-(x-a)^2+bunsuu12 すなわち 2x^2-2ax+a^2-bunsuu12=0 の判別式 -a^2+1=0 であるから a=1.

ゆえに, 求める a の範囲は 1leqq a leqq sqrt2

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