2008年前期 一橋大学 4

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正四面体 OABC の1辺の長さを1とする。辺 OA を2:1に内分する点を P, 辺 OB を1:2に内分する点を Q とし, 0<t<1 をみたす t に対して, 辺 OCt:1-t に内分する点を R とする。
(1)
PQ の長さを求めよ。
(2)
sankaku{PQR} の面積が最小となるときの t の値を求めよ。
ヒント
(1)
absvec{PQ_n}^2 を求める.
(2)
sankaku{PQR}=bunsuu12sqrt{absvec{PQ}^2absvec{PR}^2-(vnaiseki{PQ}{PR})^2} であるから, absvec{PQ}^2, absvec{PR}^2, vnaiseki{PQ}{PR} を求めればよい.
解答
正四面体 OABC は1辺の長さが1だから,
absvec{OA}=absvec{OB}=absvec{OC}=1,      vnaiseki{OA}{OB}=vnaiseki{OB}{OC}=vnaiseki{OC}{OA}=bunsuu12
(1)
OA を2:1に内分する点が P, 辺 OB を1:2に内分する点が Q, 辺 OCt:1-t に内分する点が R であるから,
bekutoru{OP}=bunsuu23bekutoru{OA},      bekutoru{OQ}=bunsuu13bekutoru{OB},      bekutoru{OR}=t bekutoru{OC}
bekutoru{PQ} =bekutoru{OQ}-bekutoru{OP}=bunsuu13bekutoru{OB}-bunsuu23bekutoru{OA}
absvec{PQ}^2 =zettaiti{bunsuu13bekutoru{OB}-bunsuu23bekutoru{OA}}^2
=bunsuu19absvec{OB}^2-bunsuu49vnaiseki{OA}{OB}+bunsuu49absvec{OA}^2
=bunsuu13
ゆえに,
PQ=bunsuu{sqrt{3}}{3}
(2)
bekutoru{PR} =bekutoru{OR}-bekutoru{OP}=t bekutoru{OC}-bunsuu23bekutoru{OA}
absvec{PR}^2 =t^2absvec{OC}^2-bunsuu43t vnaiseki{OC}{OA}+bunsuu49absvec{OA}^2
=t^2-bunsuu23t+bunsuu49
vnaiseki{PQ}{PR} =(bunsuu13bekutoru{OB}-bunsuu23bekutoru{OA})cdot(t bekutoru{OC}-bunsuu23bekutoru{OA})
=bunsuu13t vnaiseki{OB}{OC}-bunsuu29vnaiseki{OA}{OB}-bunsuu23t vnaiseki{OC}{OA}+bunsuu49absvec{OA}^2
=bunsuu13-bunsuu16t
よって,
sankaku{PQR} =bunsuu12sqrt{absvec{PQ}^2absvec{PR}^2-(vnaiseki{PQ}{PR})^2}
=bunsuu12sqrt{bunsuu13(t^2-bunsuu23t+bunsuu49)-(bunsuu13-bunsuu16t)^2}
=bunsuu{1}{12}sqrt{11(t-bunsuu{2}{11})^2+bunsuu{32}{33}}
ゆえに, sankaku{PQR} が最小となるとき
t=bunsuu{2}{11}

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