2008年前期 一橋大学 5

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n を3以上の整数とする。2n 枚のカードがあり, そのうち赤いカードの枚数は6, 白いカードの枚数は 2n-6 である。これら 2n 枚のカードを, 箱Aと箱Bに n 枚ずつ無作為に入れる。2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど k 枚入っている確率を p_k とする。
(1)
p_2n の式で表せ。さらに, p_2 を最大にする n をすべて求めよ。
(2)
p_1+p_2<p_0+p_3 をみたす n をすべて求めよ。
ヒント
(1)
箱Aに赤が6枚中2枚となるとき, 白は 2n-6 枚中の n-2 枚となる. 箱Bに赤が2枚となるときも同様.
変域が整数の関数の最大値は隣り合う項を比較して増減を考える.
(2)
p_0+p_1+p_2+p_3=1
解答
(1)
箱Aのカードが赤2枚, 白 n-2 枚となる確率は n=3 のとき, 0
n geqq4 のとき,
bunsuu{kumiawase{6}{2}cdot kumiawase{2n-6}{n-2}}{kumiawase{2n}{n}}=bunsuu{15n(n-1)(n-3)}{8(2n-1)(2n-3)(2n-5)}    (n=3 のときも成立)
箱Bのカードが赤2枚, 白n-2枚となる確率も同様なので,
p_2=bunsuu{15n(n-1)(n-3)}{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)}
p_2(n)=bunsuu{15n(n-1)(n-3)}{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)} とおくと, n geqq3 のとき,
bunsuu{p_2(n+1)}{p_2(n)} =bunsuu{bunsuu{15(n+1)n(n-2)}{4(2n+1)(2n-1)(2n-3)}}{bunsuu{15n(n-1)(n-3)}{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)}}
=bunsuu{(2n-5)(n-2)(n+1)}{(2n+1)(n-1)(n-3)}
であるから,
p_2(n+1)geqq p_2(n) Longleftrightarrow bunsuu{p_2(n+1)}{p_2(n)}geqq1   (*1)
Longleftrightarrow bunsuu{(2n-5)(n-2)(n+1)}{(2n+1)(n-1)(n-3)}geqq1
Longleftrightarrow(2n-5)(n-2)(n+1)geqq(2n+1)(n-1)(n-3)
Longleftrightarrow n leqq7
ゆえに, p_2(n) の増減は
p_2(3)<p_2(4)<p_2(5)<p_2(6)<p_2(7)=p_2(8)>p_2(9)>cdots
となるから, p_2 を最大にする nn=7,8
(2)
n=3,4 のとき, p_1=0
n geqq5 のとき,
p_1 =2cdot bunsuu{kumiawase61cdot kumiawase{2n-6}{n-1}}{kumiawase{2n}{n}}
=bunsuu{3n(n-3)(n-4)}{2(2n-1)(2n-3)(2n-5)}   (n=3,4のときも成立)
ここで, p_0+p_1+p_2+p_3=1 より,
p_1+p_2 <p_0+p_3=1-(p_1+p_2)
p_1+p_2 <bunsuu12
よって,
bunsuu{3n(n-3)(n-4)}{2(2n-1)(2n-3)(2n-5)}+bunsuu{15n(n-1)(n-3)}{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)}<bunsuu12
(n-2)(n^2-4n-3)<0
図1 n geqq3 であるから
n^2-4n-3<0
これをみたす nn=3,4
解説
(*1)
変域が整数の関数の最大・最小は, 隣り合う値の場合の大小関係を比較すると 式が複雑な場合も増減が分かりやすい.

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