2008年前期 横浜国立大学 1

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3
Dept. :
経済学部, 工学部
xy 平面上に3つの曲線
C_1 :y=x^2
C_2 :y=2(x-1)^2+3
C_3 :y=-(x-a)^2+b   (a,bは実数)
がある。C_2C_3 はただ1つの点を共有している。次の問いに答えよ。
(1)
C_1, C_2 は共有点をもたないことを示せ。
(2)
ba の式で表せ。
(3)
C_1C_3 で囲まれる部分の面積を S(a) とする。 S(a) を最小にする a を求めよ。
ヒント
(1)
C_1, C_2 を連立した方程式が解をもたない.
(2)
C_2C_3 を連立した方程式がただ1つの解をもつ.
(3)
交点の x 座標を alpha, beta (alpha<beta) として, 解と係数の関係を用いる.
解答
(1)
C_1C_2 を連立すると,
x^2=2(x-1)^2+3
x^2-4x+5=0
判別式が 2^2-1cdot5=-1<0 であるから, この方程式は解を持たない.
ゆえに, C_1C_2 は共有点をもたない.
(2)
C_2, C_3 を連立すると,
2(x-1)^2+3=-(x-a)^2+b
3x^2-2(a+2)x+(a^2-b+5)=0
C_2, C_3 がただ1つの共有点をもつから, 判別式が0である.
D/4=(a+2)^2-3(a^2-b+5)=0
b=bunsuu{2a^2-4a+11}{3}
(3)
C_1, C_3 を連立すると,
x^2=-(x-a)^2+b
2x^2-2ax+a^2-b=0
この方程式の判別式は D/4=a^2-2(a^2-b)=bunsuu{(a-4)^2+6}{3}>0 であるから, C_1C_3 は異なる2点で交わる. この2点の x 座標を alpha, beta (alpha<beta) とすると, 解と係数の関係より,
alpha+beta=a,      alpha beta=bunsuu{a^2-b}{2}=bunsuu{a^2+4a-11}{6}(*1)
よって, S(a)a=4 のとき最小となる.
解説
(*1)
(2) の結果を用いて b を消去している.
(*2)
dint{alpha}{beta}(x-alpha)(x-beta)dx=-bunsuu16(beta-alpha)^3

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