2008年前期 横浜国立大学 2

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2
Dept. :
経済学部, 工学部
原点を O とする xy 平面上に, 2直線
l_1 :y=mx
l_2 :y=-mx
がある。ただし, m>1 とする。l_1 上に点 P(s,ms), l_2 上に点 Q(t,-mt)s ne0, t ne0 となるようにとる。P を通り, l_1 に垂直な直線と, Q を通り l_2 に垂直な直線の交点を R とする。次の問いに答えよ。
(1)
R の座標を求めよ。
(2)
PQOR が平行となるように P, Q を動かすとき, R の軌跡を求めよ。
ヒント
(1)
傾き m の直線の垂線の傾きは -bunsuu1m.
(2)
2直線が平行となるとき, 方向ベクトルが等しい.
傾きが等しいと考えてもよいが, y 軸と平行になるときは場合分けする.
解答
(1)
P を通り, l_1 に垂直な直線は
y=-bunsuu1m(x-s)+ms
Q を通り, l_2 に垂直な直線は
y=bunsuu1m(x-t)-mt
よって,
R(bunsuu{(s+t)(m^2+1)}{2},bunsuu{(s-t)(m^2+1)}{2m})
(2)
R(X,Y) とすると, (1) より,
s+t=bunsuu{2X}{m^2+1},s-t=bunsuu{2mY}{m^2+1}
s=bunsuu{X+mY}{m^2+1},t=bunsuu{X-mY}{m^2+1}
bekutoru{OR}=(X,Y), bekutoru{PQ}=(s-t,m(s+t))=(bunsuu{2mY}{m^2+1},bunsuu{2mX}{m^2+1})heikou(Y,X)
bekutoru{OR}heikou bekutoru{PQ} より,
X:Y =Y:X
Y =pm X
s neq0, t neq0 より, X neq0 であるから, 求める軌跡は
y=pm x     (x neq0)
別解
(2)
(i)
s=t のとき, PQy 軸と平行になる.
Ry 座標は0であるから, ORx 軸となり, PQ heikou OR とはなりえないので不適.
(ii)
s=-t のとき, PQx 軸と平行になる.
Rx 座標は0であるから, ORy 軸となり, PQ heikou OR とはなりえないので不適.
(iii)
s neq pm t のとき, R(X,Y) とすると OR の傾きは
bunsuu{Y}{X}=bunsuu{s-t}{m(s+t)}
PQ の傾きは
bunsuu{m(s+t)}{s-t}=bunsuu{X}{Y}
PQ heikou OR となるとき,
bunsuu{Y}{X}=bunsuu{X}{Y}
Y=pm X
ゆえに, 求める軌跡は
y=pm x     (x neq0)

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