2008年前期 横浜国立大学 3

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3
Dept. :
経済学部, 工学部
数列 {a_n}
a_1=bunsuu12,      a_{n+1}=1-a_n^2      (n=1,2,3,cdots)
で定める。次の問いに答えよ。
(1)
0<a_{2n-1}leqq bunsuu12, bunsuu34leqq a_{2n}<1 (n=1,2,3,cdots) であることを示せ。
(2)
x0leqq x leqq bunsuu12 の範囲を動くとき, 関数 f(x)=2x-x^3 のとる値の範囲を求めよ。
(3)
bunsuu{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}leqq bunsuu78 (n=1,2,3,cdots) であることを示せ。
ヒント
(1)
n=2k-1,2k で成り立つと仮定して, n=2k+1,2k+2 が成り立つことを示し, 数学的帰納法により証明する.
(2)
f(x) の増減を考える.
(3)
bunsuu{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}a_{2n-1} で表すと, (1), (2) の結果を利用できる.
解答
(1)
n=1,2,3,cdots のとき,
0<a_{2n-1}leqq bunsuu12,bunsuu34leqq a_{2n}<1 \cdots\cdotseq1
であることを, 数学的帰納法によって示す.
(i)
n=1 のとき, a_1=bunsuu12, a_2=1-a_1^2=bunsuu34 より 式1 は成り立つ.
(ii)
n=k のとき成り立つと仮定すると, bunsuu34leqq a_{2k}<1 であるから,
0<1-a_{2k}^2leqq bunsuu{7}{16}<bunsuu12 より, 0<a_{2k+1}leqq bunsuu12 が成り立つ.
bunsuu34leqq1-a_{2k+1}^2<1 より, bunsuu34leqq a_{2k+2}<1 が成り立つ.
よって, n=k+1 のときも 式1 は成り立つ.
以上から, 数学的帰納法により n=1,2,3,cdots のとき 式1 は成り立つ.
(2)
f'(x)=2-3x^2 より, 0leqq x leqq bunsuu12f'(x)>0.
よって, 0leqq x leqq bunsuu12 において f(x) は単調増加であるから, f(0)leqq f(x)leqq f(bunsuu12)
ゆえに,
0leqq f(x)leqq bunsuu78
(3)
bunsuu{a_{2n+1}}{a_{2n-1}} =bunsuu{1-a_{2n}^2}{a_{2n-1}}
=bunsuu{1-(1-a_{2n-1}^2)^2}{a_{2n-1}}
=2a_{2n-1}-a_{2n-1}^3
(1) より 0<a_{2n-1}leqq bunsuu12 であるから, (2) より 2a_{2n-1}-a_{2n-1}^3leqq bunsuu78
ゆえに,
bunsuu{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}leqq bunsuu78

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