2008年前期 横浜国立大学 4

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2
Dept. :
工学部
次の問いに答えよ。
(1)
不定積分
int sqrt{1-e^{-2x}}dx
を置換 sqrt{1-e^{-2x}}=t を用いて求めよ。
(2)
極限
dlim{alpha to infty}dint{0}{alpha}(1-sqrt{1-e^{-2x}})dx
を求めよ。
ヒント
(1)
dint{}{}bunsuu{1}{1-t^2}dt=bunsuu12dint{}{}bunsuu{1}{1-t}+bunsuu{1}{1+t}dt
(2)
bunsuu{t^2}{1-t^2}=-1+bunsuu{1}{1-t^2}=-1+bunsuu12(bunsuu{1}{1+t}+bunsuu{1}{1-t})
解答
(1)
t=sqrt{1-e^{-2x}} とおくと, x=-bunsuu12log(1-t^2) であるから, bunsuu{dx}{dt}=bunsuu{t}{1-t^2}
int sqrt{1-e^{-2x}}dx =int t bunsuu{dx}{dt}dt
=int t bunsuu{t}{1-t^2}dt
=int-1+bunsuu12(bunsuu{1}{1+t}+bunsuu{1}{1-t})dt   (*1)
=-t+bunsuu12(log(1+t)-log(1-t))+C
=-t+log(bunsuu{(1+t)^2}{1-t^2})^{frac12}+C   (*2)
=-sqrt{1-e^{-2x}}+log bunsuu{1+sqrt{1-e^{-2x}}}{e^{-x}}+C
=-sqrt{1-e^{-2x}}+log(1+sqrt{1-e^{-2x}})+x+C
(2)
(1) より,
dint{0}{alpha}(1-sqrt{1-e^{-2x}})dx
=teisekibun{x-{-sqrt{1-e^{-2x}}+log(1+sqrt{1-e^{-2x}})+x}}{0}{alpha}
=sqrt{1-e^{-2alpha}}-log(1+sqrt{1-e^{-2alpha}})
dlim{alpha to infty}e^{-2alpha}=0 であるから,
dlim{alpha to infty}dint{0}{alpha}(1-sqrt{1-e^{-2x}})dx=1-log2
解説
(*1)
分子の次数を下げ, 部分分数に分解している. (2) 参照.
(*2)
t=sqrt{1-e^{-2x}} を代入してから整理してもよい.
ここでは, 代入後に log をまとめ, 分母の有理化が必要になることを考慮し, 代入前に行っている.
bunsuu12log(1+t)-log(1-t) =bunsuu12log bunsuu{1+t}{1-t}
=bunsuu12log bunsuu{(1+t)(1+t)}{(1-t)(1+t)}
=bunsuu12log bunsuu{(1+t)^2}{(1-t^2)}
=log(bunsuu{(1+t)^2}{(1-t^2)})^{frac12}

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