2008年前期 横浜国立大学 5

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3
Dept. :
工学部
連立不等式
x^2+(y-bunsuu12)^2leqq1;y geqq0
の表す図形を x 軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。
ヒント
y 軸に関して対称であるから, x geqq0 の範囲のみ考えればよい.
dint{}{}sqrt{1-x^2}dx は単位円の面積を利用して求める.
解答
図1 与えられた連立不等式の表す図形は図のようになる.
y 軸に関して対称であるから, 求める体積を V とおくと,

bunsuu12V =pi dint01{bunsuu12+sqrt{1-x^2}}^2dx-pi dint{frac{sqrt{3}}{2}}{1}{bunsuu12-sqrt{1-x^2}}^2dx
=pi dint01(bunsuu54-x^2+sqrt{1-x^2})dx-pi dint{frac{sqrt{3}}{2}}{1}(bunsuu54-x^2-sqrt{1-x^2})dx
=pi dint{0}{frac{sqrt{3}}{2}}(bunsuu54-x^2)dx+pi dint01sqrt{1-x^2}dx+pi dint{frac{sqrt{3}}{2}}{1}sqrt{1-x^2}dx
図2 y=sqrt{1-x^2} は, 単位円の上半分の方程式であるから,
bunsuu12V =pi teisekibun{bunsuu54x-bunsuu13x^3}{0}{frac{sqrt{3}}{2}}+pi bunsuu{pi}{4}+pi(bunsuu{pi}{12}-bunsuu12bunsuu{sqrt{3}}{2}bunsuu12)
=pi(bunsuu13pi+bunsuu{3sqrt{3}}{8})
ゆえに,
V=bunsuu23pi^2+bunsuu{3sqrt{3}}{4}pi

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