2008年前期 新潟大学 2

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1
Dept. :
文系学部
theta0<theta<bunsuu{pi}{2} である実数とする。 座標平面上に3点 O(0,0), A(cos theta,0), B(0,sin theta) をとる。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
線分 OA, OB の長さの和の最大値とそのときの theta を求めよ。
(2)
三角形 OAB の面積の最大値とそのときの theta を求めよ。
ヒント
(1)
三角比の合成
(2)
倍角の公式
解答
(1)
OA+OB =cos theta+sin theta
=sqrt2sin(theta+bunsuu{pi}{4})
0<theta<bunsuu{pi}{2} より bunsuu{pi}{4}<theta+bunsuu{pi}{4}<bunsuu34pi であるから,
OA+OBtheta+bunsuu{pi}{4}=bunsuu{pi}{2}Longleftrightarrow theta=bunsuu{pi}{4} のとき, 最大値 sqrt2 をとる.
(2)
sankaku{OAB} =bunsuu12cos theta sin theta
=bunsuu14sin2theta
0<theta<bunsuu{pi}{2} より 0<2theta<pi であるから,
sankaku{OAB}2theta=bunsuu{pi}{2}Longleftrightarrow theta=bunsuu{pi}{4} のとき, 最大値 bunsuu14 をとる.

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