2008年前期 新潟大学 3

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2
Dept. :
文系学部, 理系学部
長方形 ABCD に対して, それぞれの辺の長さを
AB=CD=1,     BC=DA=t,     0<t<1
とする。辺 AB 上の点 P および辺 BC 上の点 Q を, 点 C と点 P が2点 D, Q を通る直線に関して対象になるようにとる。
bekutoru{AB}=beku{a},      bekutoru{BC}=beku{b},      bekutoru{AP}=x beku{a} (0<x<1),      bekutoru{BQ}=y beku{b} (0<y<1)
とおく。このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
bekutoru{DP}, bekutoru{PQ}beku{a}, beku{b}, x, y で表せ。
(2)
x, yt で表せ。
(3)
x=bunsuu35 のとき, t および y を求めよ。
ヒント
(1)
bekutoru{DP}=bekutoru{AP}-bekutoru{AD}, bekutoru{PQ}=bekutoru{AQ}-bekutoru{AP}
(2)
線対称であるから, bekutoru{PC}perp bekutoru{DR} かつ PC の中点が DQ 上にある.
(3)
(2) の結果に代入する.
解答
(1)
図1
bekutoru{DP} =bekutoru{AP}-bekutoru{AD}
=x beku{a}-beku{b}
bekutoru{PQ} =bekutoru{AQ}-bekutoru{AP}
=(1-x)beku{a}+y beku{b}
(2)
bekutoru{PC} =(1-x)beku{a}+beku{b}
bekutoru{DQ} =beku{a}+(y-1)beku{b}
bekutoru{DR} =bunsuu12(bekutoru{DC}+bekutoru{DP})
=bunsuu12{(1+x)beku{a}-beku{b}}
bekutoru{PC}perp bekutoru{DR} より, vnaiseki{PC}{DR}=0 であるから,
1-x^2+t^2=0
x>0 より,
x=sqrt{1-t^2}
RDQ 上の点であり, beku{a}, beku{b} は一次独立であるから,
bunsuu{y-1}{1} =bunsuu{-1}{1+x}
y =1-bunsuu{1}{1+x}
=1-bunsuu{1}{1+sqrt{1-t^2}}
=bunsuu{t^2-1+sqrt{1-t^2}}{t^2}
(3)
x=bunsuu35 のとき, t>0 より t=bunsuu45, y=bunsuu38

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