2008年前期 新潟大学 5

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3
Dept. :
理系学部
AA ne E, A ne O かつ A^2=A をみたす2次正方行列とする。ただし,
E=gyouretu1001,      O=gyouretu0000
である。このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
実数 t に対して, 積 (A-tE){A-(1-t)E} および {A-(1-t)E}(A-tE) を求めよ。
(2)
行列 A および A-E はともに逆行列をもたないことを示せ。
(3)
A-tE が逆行列をもつための t に対する必要十分条件を求めよ。 また, t がその必要十分条件をみたすとき, 逆行列 (A-tE)^{-1} を求めよ。
ヒント
(1)
行列の掛け算. AE=EA=A である.
(2)
逆行列が存在すると仮定して矛盾を導く背理法を使う.
(3)
(A-tE)t=0 のとき A, t=1 のとき A-E であるから, (1), (2) の結果を利用する.
解答
(1)
(A-tE){A-(1-t)E} =A^2-A+t(1-t)E
=t(1-t)E
{A-(1-t)E}(A-tE) =t(1-t)E
(2)
A の逆行列 A^{-1} が存在すると仮定する.
A^2=A に左から A^{-1} をかけると A=E となり A ne E に矛盾する.
よって, A は逆行列をもたない. A-E の逆行列 (A-E)^{-1} が存在すると仮定する.
A^2=A より A(A-E)=O であり, 右から (A-E)^{-1} をかけると, A=O となり A ne O に矛盾する.
よって, A-E は逆行列をもたない.
(3)
(2) より, t=0,1 のとき A-tE の逆行列は存在しない.
(1) より, t ne0,1 のとき,
(A-tE)bunsuu{1}{t(1-t)}{A-(1-t)E}=E
bunsuu{1}{t(1-t)}{A-(1-t)E}(A-tE)=E
よって, A-tE の逆行列が存在する必要十分条件は t ne0,1 であり, このとき,
(A-tE)^{-1}=bunsuu{1}{t(1-t)}{A-(1-t)E}

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