2008年前期 新潟大学 6

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2
Dept. :
理系学部
定数 c>0 に対して, 楕円
bunsuu{1+c}{c}x^2+(1+c)y^2=1
E_c で表す。このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
楕円 E_c は直線 x+y=1 に接することを示し, 接点の座標を求めよ。
(2)
正の実数 a, b に対して, 楕円 ax^2+by^2=1 が直線 x+y=1 に接するとき, ab の関係式を求め, ab 平面上にそのグラフをかけ。 またこのとき, 楕円 ax^2+by^2=1 は楕円 E_c の形に表せることを示せ。
ヒント
(1)
連立した方程式が重解を持つ.
(2)
連立した方程式の判別式が0である.
解答
(1)
E_cx+y=1 を連立すると,
bunsuu{1+c}{c}x^2+(1+c)(1-x)^2=1
(x-bunsuu{c}{c+1})^2=0
よって, 重解 x=bunsuu{c}{c+1} をもち, このとき y=bunsuu{1}{c+1} であるから,
E_cx+y=1(bunsuu{c}{c+1},bunsuu{1}{c+1}) で接する.
(2)
ax^2+by^2=1x+y=1 を連立すると,
ax^2+b(1-x)^2=1
(a+b)x^2-2bx+b-1=0
判別式を D とすると, ax^2+by^2=1x+y=1 に接するとき,
D/4=b^2-(a+b)(b-1)=0
b(a-1)=a
図1 ここで, a=1 とすると, 0=1 となり不適.
よって, a ne1 であるから,
b=bunsuu{a}{a-1}=1+bunsuu{1}{a-1}
ab 平面上に図示すると図のようになる.
このとき, 楕円は ax^2+bunsuu{a}{a-1}y^2=1 であるから, a=bunsuu{1+c}{c} とおくと,
bunsuu{1+c}{c}x^2+(1+c)y^2=1
よって, E_c の形に表せる.

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