2008年前期 新潟大学 7

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2
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理系学部
座標平面上で, 不等式 y leqq-ax^2+b の表す領域を A とし, 不等式 x^2+y^2leqq1 の表す領域を B とする。 ただし, a>bunsuu12 かつ b>0 とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
放物線 y=-ax^2+bx 軸で囲まれた図形の面積 Sa, b で表せ。
(2)
BA に含まれるための必要十分条件は, b geqq bunsuu{1+4a^2}{4a} であることを示せ。
(3)
BA に含まれるとき, (1) で求めた面積 S が最小となる a, b およびそのときの S を求めよ。
ヒント
(1)
dint{alpha}{beta}(x-alpha)(x-beta)dx=-bunsuu16(beta-alpha)^3
(2)
連立して y の2次式とする.
(3)
(2) から, b は消去できる. 相加相乗平均を用いるか, 微分して増減を考えることで, 最小にする a を求める.
解答
(1)
y=-ax^2+bx 軸の交点の x 座標を alpha, beta (alpha<beta) とすると, alpha, beta-ax^2+b=0 の2解であるから, 解と係数の関係より,
alpha+beta=0,      alpha beta=-bunsuu{a}{b}
S =dint{alpha}{beta}(-ax^2+b)dx
=dint{alpha}{beta}-a(x-alpha)(x-beta)dx
=bunsuu{a}{6}(beta-alpha)^3
=bunsuu{a}{6}{(alpha+beta)^2-4alpha beta}^{frac32}
=bunsuu{4b sqrt{ab}}{3a}
(2)
BA に含まれるための必要十分条件は, y=-ax^2+b, x^2+y^2=1 を連立した方程式
-bunsuu{y-b}{a}+y^2=1
ay^2-y+(b-a)=0
の判別式 D=1-4a(b-a)leqq0 である.
ゆえに,
b geqq bunsuu{1+4a^2}{4a}
(3)
(2) より,
S =bunsuu{4}{3sqrt{a}}b^{frac32}
geqq bunsuu{4}{3sqrt{a}}(bunsuu{1+4a^2}{4a})^{frac32}
=bunsuu16(a^{-frac43}+2a^{frac23}+2a^{frac23})^{frac32}   (*1)
geqq bunsuu16{3(a^{-frac43}2a^{frac23}2a^{frac23})^{frac13}}^{frac32}   (*2)
=sqrt3
等号は b=bunsuu{1+4a^2}{4a}, a^{-frac43}=2a^{frac23} すなわち a=bunsuu{sqrt2}{2}, b=bunsuu34sqrt{2} のときに成り立つ.
ゆえに, Sa=bunsuu{sqrt2}{2}, b=bunsuu34sqrt{2} のとき, 最小値 sqrt3 をとる.
別解
(3)
S geqq bunsuu{4}{3sqrt{a}}(bunsuu{1+4a^2}{4a})^{frac32}
=bunsuu16sqrt{bunsuu{(1+4a^2)^3}{a^4}}
f(a)=bunsuu{(1+4a^2)^3}{a^4} とおくと, f'(a)=bunsuu{4(1+4a^2)^2(2a^2-1)}{a^5} より, f(a) の増減は表のようになる.
a,bunsuu12,cdots,{bunsuu{sqrt2}{2}},cdots f'(a),,-,0,+f(a),,SE,,NE
ゆえに, a=bunsuu{sqrt2}{2}, b=bunsuu34sqrt{2} のとき, Sは最小値 sqrt{3} をとる.
解説
(*1)
相加相乗平均を利用するため, かけたときに a の指数が0になるように分けている.
(*2)
相加相乗平均を利用している.
a+b+c geqq3(abc)^{frac13}

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