2008年前期 新潟大学 8

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2
Dept. :
理系学部
nn geqq2 である自然数とする。関数
f_n(x)=x^n log x,     x>0
について, 次の問いに答えよ。ただし, 対数は自然対数とする。 必要ならば, x を右側から 0 に近づけたときの極限値について
dlim{x to+0}x^k log x=0
がすべての自然数 k geqq1 に対して成り立つことを利用してもよい。
(1)
dlim{x to+0}f_n'(x)=0 を示せ。
(2)
関数 y=f_n(x) の増減, グラフの凹凸を調べ, グラフをかけ。
(3)
極限値
dlim{n to infty}n^2dint{e^{-frac1n}}{1}f_n(x)dx
を求めよ。
ヒント
(1)
n geqq2 であるから, 与えられたヒントより x^{n-1}log x to0
(2)
微分して増減表を書く.
(3)
部分積分を利用して, 積分値を計算する.
解答
(1)
f'_n(x)=nx^{n-1}log x+x^{n-1}
dlim{x to+0}x^{n-1}log x=0 より,
dlim{x to+0}f_n'(x)=0
(2)
f'_n(x) =x^{n-1}(n log x+1)
f''_n(x) =x^{n-2}{n(n-1)log x+2n-1}
-bunsuu{2n-1}{n(n-1)}leqq-bunsuu1n であるから, f_n(x) の増減は表のようになる.
x,(0),cdots,{e^{-frac{2n-1}{n(n-1)}}},cdots,e^{-frac1n},cdots f'_n(x),(0),-,,-,0,+f''_n(x),,-,0,+,,+f_n(x),,secarrow,,sevarrow,{-bunsuu{1}{ne}},nevarrow
図1 ゆえに, y=f(x) のグラフは図のようになる.

(3)
dint{e^{-frac{1}{n}}}{1}f_n(x)dx =teisekibun{bunsuu{x^{n+1}}{n+1}log x}{e^{-frac{1}{n}}}{1}-dint{e^{-frac{1}{n}}}{1}bunsuu{x^{n+1}}{n+1}bunsuu{1}{x}dx
=bunsuu{1}{n(n+1)}e^{-frac{n+1}{n}}-bunsuu{1}{(n+1)^2}(1-e^{-frac{n+1}{n}})
n^2dint{e^{-frac{1}{n}}}{1}f_n(x)dx =bunsuu{1}{1+frac1n}e^{-1-frac{1}{n}}-bunsuu{1}{(1+frac1n)^2}(1-e^{-1-frac{1}{n}})
to e^{-1}-(1-e^{-1})
=-1+bunsuu{2}{e}

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