2008年前期 静岡大学 1

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2
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教育学部,理学部(生物学科/地球科学科/物理学科/化学科/数学科),農学部,情報学部,工学部
次の問いに答えよ。
(1)
整数 x, yx>y geqq0 を満たすとき, x^2-y^2 は4の倍数または奇数であることを示せ。
(2)
n を自然数とする。
(i)
n=4,8,12 のとき, n=x^2-y^2 を満たす整数 x, y (x>y geqq0) をそれぞれ1組ずつ求めよ。
(ii)
n が4の倍数のとき, n=x^2-y^2 を満たす整数 x, y (x>y geqq0) があることを示せ。
(3)
n を自然数とする。
(i)
n=3,5,7 のとき, n=x^2-y^2 を満たす整数 x, y (x>y geqq0) をそれぞれ1組ずつ求めよ。
(ii)
n が奇数のとき, n=x^2-y^2 を満たす整数 x, y (x>y geqq0) があることを示せ。
ヒント
(1)
x, y が偶数, 奇数の場合をそれぞれ考える.
(2)
x^2-y^2 が4の倍数のとき, x+y, x-y が偶数である.
(3)
x^2-y^2 が奇数のとき, x+y, x-y も奇数である.
解答
(1)
x^2-y^2=(x+y)(x-y) より, 隅奇の対応は表のようになる.
x,y,x+y,x-y,x^2-y^2隅数,隅数,隅数,偶数,4の倍数奇数,奇数,隅数,偶数,4の倍数隅数,奇数,奇数,奇数,奇数奇数,隅数,奇数,奇数,奇数
ゆえに, x^2-y^2 は4の倍数または奇数である.
(2)
(i)
(1) より, x^2-y^2 が4の倍数のとき, x+y, x-y は偶数である.
また, x+y geqq x-y であるから,
x^2-y^2,x+y,x-y,x,y4,2,2,2,0 8,4,2,3,1 12,6,2,4,2
(ii)
n が4の倍数のとき, n=4k (k=1,2,3,cdots) と表せる.
x=k+1, y=k-1 とすると, x^2-y^2=4k であるから, n=x^2-y^2 を満たす整数 x, y (x>y geqq0) が存在する.
(3)
(i)
(1) より, x^2-y^2 が奇数のとき, x+y, x-y は奇数である.
また, x+y geqq x-y であるから,
x^2-y^2,x+y,x-y,x,y3,3,1,2,1 5,5,1,3,2 7,7,1,4,3
(ii)
n が奇数のとき, n=2k-1 (k=1,2,3,cdots) と表せる.
x=k, y=k-1 とすると, x^2-y^2=2k-1 であるから, n=x^2-y^2 を満たす整数 x, y (x>y geqq0) が存在する.

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